a + b = 8 - c ...........(1)
a^3 + b^3 = 8 - c^3 ........(2)
第(2)式除以第(1)式
可得
a^2 + b^2 - ab = 64 + c^2 - 8c - 504/(8 - c)
(a + b)^2 - 3ab = (8 - c)^2 + 8c - 504/(8 - c)
3ab = 504/(8 - c) - 8c
取c= 3k 可得
ab = [168/(8 - 3k)] - 8k
又(a + b)^2 - 4ab 必須是平方數 且 (a + b) 是偶數
所必須 存在 h 與 k 使得
h^2 = 64 + 16k + 9k^2 - 672/(8 - 3k)
原方程組才有整數解
於是 傳說中的 橢圓曲線 出現了
不過滿足 672/(8 - 3k)是整數 的整數解k 就那幾個
列舉一下 就能找出 答案
不過 這種題目當考題 實在很變態
數學這種東西 要學的是
要找出與解決須要計算好幾個小時的問題的能力
cos(7度) 可是個代數數 能算完這一題
並電腦輸入計算過程與列印出來
要花多少時間呢?