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※ 引述《oooooee ()》之銘言：
: ※ 引述《s58565254 (猜囉)》之銘言：
: : 圖中（沒附圖）
: : 有四個盤子，每個盤子有兩個糖果，請問全部有幾個糖果？
: : 這題為什麼一定要
: : 2*4=8 不能4*2=8
: : 2*4=8的意思不就是
: : 每盤2個，總共有四盤，所以有8個
: : 跟4*2=8的意思
: : 有四個盤子面各有2個糖果，所以有8個
: : 這到底差在哪好裡為什麼4*2=8列式是錯的？？
: 這順序根本就沒差好嗎
: 只有特別龜毛的老師才會覺得有差
: 而且這種老師肯定也把假分數扣分，自己規定一定要帶分數形式
: 或者是自己課堂規定寫1/2，寫0.5者扣分
: 回歸正傳，如果乘法的順序有差
: 那麼
: F=ma
: F=am
: 請問那個老師能指出差異嗎?
: 沒多少學問的中小學老師才愛找學生麻煩

概要寫前面
了解手上操作的東西的定義才能做事
相信公設、熟稔自己操作的東西是個什麼，這才比較像數學的本質
這題改錯是為了提醒學生要注意算子的定義
可交換什麼的不是general case

另外我也不是本科，有錯麻煩指正個

運算子的前後一般是有順序差異的
最常見的例子就是有理數系的「除法」
或說，試著乘上後者的乘反元素
let A!=0 ，B!=0
假如我們寫下A/B
依照「/」這個算子的定義我們表達的事情是 A*(b)
也就是「前者乘上(後者的乘反元素)，如果後者不為0元素」
根據我們習慣的乘法公設我們可以知道
因為A、B都不是0元素，所以存在a作為A的乘法反元、b作為B的乘法反元
因為B的乘反元b剛好真的存在的關係，所以這句話我們可以放心地「/」下去
而假如我們寫下「B/A」，同樣地按照一般的「/」算子定義
我們想要表達的事情是 B*(a)
可以看出兩個式子指的是完全不同的事情
不可交換也是很容易可以推得的

另外一個常見的例子是國中引入的、給矩陣使用的「乘法」
在這個例子下我們討論的是有限維度的實矩陣
所採用的乘法實際上可以視為對左矩陣col取線性組合
也可以視為對右矩陣row取線性組合
總之這個例子我們也可以很快發現這個 矩陣乘法算子 前後operand對調的意思不一樣
所產生的結果自然也不一樣

還有一個常見的「算子有左右之分」的例子是一般常見的程式語言
// ptt.cpp
int i = 0; // valid.
int 0 = i; // compile error
這裡的"="是賦值
很明顯的我們不希望常數也可以被賦值，所以compile不會過
這也是個算子前後該放的東西不一樣的一個例子

從上面這三個例子我們可以看出
算子本身常常是不對稱的
寫在哪邊的意思差很多

「乘」這個算子也不例外

那麼，中文的語句到底該怎麼對應到「*」這個運算子的兩側呢？

如果是對應生活化的問題的話
https://goo.gl/tuD4AG
https://i.imgur.com/cK3NdD4.png
「…。等組型題目是先確定每組個數相同，
再將每組的物體聚集在一起，其中涉及單位量和單位數 2 種單位，…」

也就是說，中文而言，我們習慣把「每個單位有多少量」放在乘法算子的前面
「共有多少個單位」放在後面
也就是說，至少對於有理數系，我們定義的「*」的用法是
「把前者累加很多次，多少次呢？剛好後者這麼多次」
例如：
kp每天固定抓頭抓掉60根頭毛，整個十月共抓掉了幾根？
這題來說我們想要知道
10/1掉了60根
10/2掉了60根
(ry
10/31掉了60根
by definition我們知道這可以寫成60*31
by 計算機/表/按照定義算，我們可以知道總共是1860根
因此kp整個十月自己抓掉了1860根頭毛
假如要說這個例子要用31*60去算
要嘛學生已經非常熟悉了有理數系交換律
要嘛學生絕頂聰明
他認知到了十月的每天都有第一根頭毛掉下來，共有31天，簡單加法得到31根
十月的每一天都有第二根掉下來，共有31天，簡單加法得到31根
(ry
我要這樣做60次，所以我才寫了31*60
either case如果附上理由說明的話，我想老師應該會給點分數


常見問題：

Q1:
「外國都不是這樣寫啊，數學這東西總有且僅有個定義才是對的吧」
me:
首先我很慶幸你有「有且僅有」之類的觀念
但是一個數學系統是不需要從同一個定義、同一組公設出發的
尤其在我們基本上可以把這兩種系統視為一模一樣的系統的時候
例如你開心的話你家的
https://i.imgur.com/0MaUtXY.png
可以定義成前者改成前者自己的乘反元、放到乘法算子前面
後者直接放到乘法算子後面
兩者再進行運算
只是這樣別人提到a/0會出事的時候
你覺得奇怪的點在於「這很正常啊，奇怪的是0/a這個狀況吧」而已
btw 這是因為一般沒有定義0的乘反元素

也就是說

加上大家都熟悉了有理數系乘法的交換律
所以平常寫前寫後都沒在管一開始到底怎麼定義的

Q2:
實際上先看到四個盤子再看到每個盤子有兩個糖果
所以我寫4*2
很對啊
me:
麻煩翻一下上面的pdf以及kp頭毛例子
如果你不覺得這個定義適合中文使用的話
那麼你會回到上面Q1，只有你覺得0/a這句話很奇怪的情況

Q3:
為什麼要在小學扯矩陣扯operator扯不可交換環？
實數裡面就長這樣啊
me:
可是瑞凡
只有談實數系的話我們缺了很多東西
不如一開始就讓學生知道、習慣不是所有符號寫在兩邊都沒差的
只有有理數加法跟有理數乘法剛好方便到我們可以亂玩





總而言之，乘法就是個二元算子


然而並不是所有集合內都能找到很好的、可交換的結構
這時候我們需要做出些取捨
交換律常常就是一個被丟掉的東西，僅此而已

就算不可交換我們也可以玩出很多花樣
最易懂、最常見、又很實用的例子是線性代數
而線性代數入門正是矩陣
因此前面幾篇常常可以看到這兩個字

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