看板 Math作者 algebraic (algebraic)標題 [中學] 2^n+2^8+1=x^2 的正整數解時間 Tue Nov 17 19:39:04 2020
如題
已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整數解有兩組
n = 5 時，x = 2^4+1
n = 14 時，x = 2^7+1
我想請問要怎麼證明只有這兩組解?
n為偶數的時候我有想法，而且也證的出來
n為奇數時我實在是不知道該怎麼做
或許很簡單，只是我沒看到那條路而已?
有什麼想法還煩請各位指教了
謝謝!
有沒有正整數解的八卦?
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推 vectorlog: x=a+1, 第一種a^2=2^n , 第二種a^2=2^8
假設x=a+1啦~1F 11/17 20:44
→ hwanger: 不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或a^2=2^8這兩個式子3F 11/17 21:58
我的題目來源跟網址內的題目來源，應該是同一個沒錯
只是我把題目做了一些變換，才丟上來問的
不過沒想到的是，原來那時候大家也沒有解出來
我想原出題者應該自己也沒有注意到，怎麼證只有這兩個解吧
總之我大概知道，這似乎是一個很non-trivial的問題了
只能說數論就是這樣吧!
推 MisatoMitumi: 樓上是對的
等等，不是，因為2^(n-8)+1還可以分解
所以有機會K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+110F 11/17 22:34
噓 MisatoMitumi: K偶L奇，所以還是有機會的。2^m+1這種東西因數常常還滿多的
誤噓抱歉14F 11/17 22:45
※ 編輯: algebraic (220.136.195.202 臺灣), 11/17/2020 22:58:16
→ cmrafsts: 只用模2的power做不出來，因為有hensel lemma17F 11/18 00:18
推 TimcApple: n = 2k+1, 設 y = 2^k 會有 257 = x^2 - 2y^2
可解得 (x,y) = T^m (17, +-4)
T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解
然而沒法確定 y 是不是 2-power
同樣是因為 hensel lemma 的問題18F 11/18 05:18
→ fragmentwing: 不知道這樣可不可行
啊啊 不行 沒有偶數一定是2的次方的保證24F 11/18 11:08
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