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作者 arrenwu (最是清楚哇她咩)
標題 Re: [閒聊] 莉央與優香討論數學
時間 Mon Sep 29 09:14:57 2025

※ 引述《nahsnib (悟)》之銘言：
: 1.這個包了三層參數式U點，他的參數式是什麼？
: 2.U點形成的軌跡與線段AD所夾之面積為？（基本上就是跟x軸所夾面積）
: 3.0~a秒內，U點掃過的軌跡長度為？
: OK所以這個題目顯然的有必要把參數式搞定，但反過來說把參數式搞定剩下兩個也不難。
: P(0,t)，Q(t,1)，R(1, 1-t)，
: S(t^2, 2t-t^2), T(2t-t^2, 1-t^2)
: U(3t^2-t^3, 3t-3t^2)
: 最後一題，曲線長度，翻出微積分公式，兩分鐘便可搞定
: L(t) = int_0^a sqrt( x'(t)^2 + y'(t)^2 ) dt
: = int_0^a sqrt(9-36t+72t^2-72t^3+36t^4) dt （這裡要用點通靈才能搞定這個根號）
: = int_0^a 3( 2t^2 - 2t + 1 ) dt
: = 2a^3 - 3a^2 + 3a
: 那麼，問題來了，雖然能解這個問題，但有沒有更好的解法？
: 畢竟在第三題中那個結果竟然能神奇的配方？巧合嗎？我不這麼認為。
: 但暫時我也沒想到更好的解法，因此先保留。
這問題還真是越看越不對勁

Ut = ( t^2*(3-2t), 3(1-t)t )

X(t) = t^2*(3-2t)
Y(t) = 3(1-t)t

X'(t) = 6t(1-t)
Y'(t) = 3(1-2t)


X'(t)^2 + Y'(t)^2 = 36t^2*(t-1)^2 + 9(2t-1)^2

                  = 9(2t^t-2t+1)^2 (到底!?)

這個配方並不具一般性，
如果今天把正方形ABCD橫向拉長1倍，
也就是 D 變成 (2,0), C變成(2,1)，這個配方的結果就不會出現了

將原圖裡面 Ut 的軌跡 (0<=t<=1) 畫出來，也看不太出個所以然
https://i.imgur.com/pS6v58G.jpg
[圖]


思來想去，如果我是考生，
會往配方考慮的理由只會是題幹裡面已經有講明Ut軌跡的長度是a的多項式

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令人心跳加速的購物旅程
https://i.imgur.com/zre1bf4.jpg
https://i.imgur.com/imTvMub.jpg
原出處：https://www.pixiv.net/en/artworks/98098481

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※ 作者: arrenwu 2025-09-29 09:14:57
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※ 同主題文章:
[閒聊] 莉央與優香討論數學
09-28 22:18 nahsnib
Re: [閒聊] 莉央與優香討論數學
09-29 09:14 arrenwu
推 nahsnib: 我在想是不是要朝正多邊形的方向去考慮，原題是正方形
那用正五六七八會不會有類似特性？1F 09/29 09:16
→ arrenwu: 一般中學教育有什麼相關定理嗎？ 不然這問題真是只會殺死學生對數學的興趣3F 09/29 09:17
→ nahsnib: 要考量到這不是台灣所教的東西不一樣，而且是東大入學考不是什麼學校段考題所以考難一點他爽就好
順帶一提台灣學測考試範圍只有高一二，所以微積分、虛數假設檢定、連續與極限、隨機變數這些都不在範圍內5F 09/29 09:18
→ arrenwu: 這個第三小題蹊蹺的部份在於"剛好可以配方"
不然只是求曲線長度的話倒還是個滿ok的數學問題9F 09/29 09:20

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