看板 Gossiping作者 CKLee (嫩之使者)標題 Re: [問卦] ½ + ½時間 Mon Apr 25 21:55:27 2016
※ 引述《shaichi5566 (鞋志™ )》之銘言:
: ½ + ½ 為什等一
: 這定義到底是誰訂出來的
: 二分之一 又是甚麼概念
: 有沒有二分之一加二分之一的 八卦
原 PO 問了兩個問題:
1. 1/2是什麼?
2. 為何 1/2+1/2 = 1
讓敝魯用數學的語言來回答吧(其實是來賺 P 幣的?)
假設我們已經知道了整數集合 Z = { 0, ±1, ±2, ...},
我們要利用整數來建構有理數,這樣便可以完整回答那兩個問題。
Step1:
先考慮集合 R = Z × Z* = {(m,n)| m∈Z, 0≠n∈Z}。
這個 R 就是我們要用來建構有理數的開始,可以想成左邊放分子,右邊放分母。
Step2:
對於 (m,n) 及 (p,q) 在 R 裡面,定義一個關係(relation)「~」如下
(m,n)~(p,q) 若且唯若 mq = np
我們證明它是一個等價關係(equivalance relation),亦即「~」滿足下面三件事情
(a) 對於每個 x∈R,x~x
(b) 對於每個 x,y∈R,若 x~y 則 y~x
(c) 對於每個 x,y,z∈R,若 x~y & y~z 則 x~z
(a) 與 (b) 的證明非常顯然,所以我們只證明 (c):
假設 (m,n), (p,q), (s,t)∈R 滿足 (m,n)~(p,q) 且 (p,q)~(s,t)。
根據「~」的定義,我們知道 mq=np & pt=qs,故 mqt = npt = nqs。
因為 q 不是零,兩邊除掉 q 後得到 mt = ns。
亦即 (m,n)~(s,t),這證明了 (c)。
Step3:
有了在 R 上的等價關係「~」後,我們就可以定義等價類(equivalance class)如下
_
對於 x∈R,定義 x = {y | y~x}
我們有以下的定理:
_ _ _ _ _ _
給定 x 與 y,如果 x∩y 不是空集合,則 x = y
定理證明:
_ _ _ _ _
給定 z∈x,因為 x∩y 不是空集合,故存在元素 w∈x∩y。
亦即 z~x, w~x 以及 w~y。
根據等價關係的 (b) 與 (c),由 z~x 與 w~x 得到 z~w。
再用一次 (c),由 z~w 與 w~y 得到 z~y,所以 z∈y。
_ _
因此 x 包含於 y。
_ _ _ _
用同樣地論述可以得到 y 包含於 x,所以 x = y,得證。
_ _
這個定理的簡單推論是:x~y 若且唯若 x = y。
Step4:
對於 (m,n)∈R,我們把它的等價類記為 m/n。
_____
也就是說,m/n = (m,n)。
_____
這邊已經回答了原 PO 的第一個問題了,1/2 的定義就是 (1,2)。
現在定義有理數集合如下
_
Q = R/~ = {x | x∈R}
然後定義有理數的加法與乘法:給定 m/n, p/q∈Q
m/n+p/q = (mq+np)/nq
(m/n)(p/q) = mp/nq
不過這樣有個問題,就是我們定義運算的時候,是用等價類的代表元去運算,
如果我們換一個代表元的話,運算結果會不會不同呢?
也就是說,如果今天 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q' 的話,
那會不會有 m/n+p/q = m'/n'+p'/q' 呢?
所以我們現在要證明這樣定義的加法與乘法是好的(well-defined):
假設 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q',
則根據定理的推論,我們有 (m,n)~(m',n') 與 (p,q)~(p',q')。
也就是 mn' = nm' 與 pq' = qp'。
故 (mq+np)n'q' = (mn')qq'+nn'(pq') = (nm')qq'+nn'(qp') = (m'q'+n'p')nq,
所以 (mq+np,nq)~(m'q'+n'p',n'p')。
根據定理之推論,得證 (mq+np)/nq = (m'q'+n'p')/n'q'。
另外,(mp)n'q' = (mn')(pq') = (nm')(qp') = (m'p')nq。
所以 (mp,nq)~(m'p',n'q'),同樣地得證 mp/nq = m'p'/n'q'。
所以加法與乘法都是 well-defined。
是說減法與除法不須特別定義,因為他們是加法與乘法的逆運算。
Step5:
有了有理數 Q 之後,我們當然會關心它與原本整數 Z 的關係。
考慮這個函數
ι: Z → Q
n → n/1
可以輕易地證明函數 ι 保持運算,也就是對於 m,n∈Z,我們有
ι(m+n) = ι(m)+ι(n)
ι(mn) = ι(m)ι(n)
另外,顯然地 ι(m) = ι(n) 可以得到 m = n,
所以 Z 與 ι(Z) = {n/1 | n∈Z} 代數結構完全相同(isomorphic)。
因此我們就把 ι(Z) 看做我們的整數了!
也就是說,以後整數 n 都可以看做 n/1 這樣 :D
Step6:
現在來回答第二個問題,1/2+1/2 究竟為何等於 1。
根據加法的定義,1/2+1/2 = (2+2)/4 = 4/4 = 1/1 = 1。
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※ 同主題文章:
Re: [問卦] ½ + ½
04-25 21:55 CKLee.
推 b643125: 快推 不然人家以為我看不懂6F 04/25 21:56
推 saiulbb: 快推文 看完還是看不懂9F 04/25 21:56
→ saiulbb: 不過最後一行XDD11F 04/25 21:57
→ Chieen: 請容我稱您一聲 數學系12F 04/25 21:57
推 tasin: 先推13F 04/25 21:57
→ Miyuli: 先推 以免被知道懶的看完15F 04/25 21:57
推 xlaws: 還好我看得懂 文組的哭哭16F 04/25 21:57
推 les5277: 順便問一下離散空間有沒有集合?18F 04/25 21:57
推 Submariner: 優秀 謝謝數學系 為我們工學院 創造工具~24F 04/25 21:57
推 xm32: 還好我懂step626F 04/25 21:58
→ cc9i: 這八卦版大家都知道了啦27F 04/25 21:58
推 xdctjh: 每個字都看得懂,這篇看不懂..........28F 04/25 21:58
推 cckkyle: 我還以為大家都知道了30F 04/25 21:58
推 omare: 文組:靠背噢。幹 end31F 04/25 21:58
推 tksq: 理工的來推 重點在最後一行對吧XDD32F 04/25 21:59
→ Submariner: 基本上 工學院只要會用就好了 我都只記結論 呵~35F 04/25 21:59
推 antiaris: 老師我身體不舒服可以去保健室躺一下嗎37F 04/25 21:59
推 davrd001: 這我國中就研究過了 很簡單的43F 04/25 22:00
推 ymx3xc: 對對 就是這樣49F 04/25 22:01
推 medama: 嗯嗯 跟我想的差不多54F 04/25 22:03
推 Jerrynet: 最後一行來亂的喔XDDDD55F 04/25 22:03
推 rl1024: 寫的很好,我完全看不懂60F 04/25 22:04
推 kklic500: 我文組 我完全看不懂你在寫三小61F 04/25 22:04
→ bradpete: ½ = /(one/two)62F 04/25 22:04
推 wjuiahb: 恩...跟我想的一樣64F 04/25 22:05
推 aa97531aa: 靠杯 我都用最後一行而已 你打這麼多65F 04/25 22:05
推 qsound: 嗯。 就是這樣66F 04/25 22:05
→ IJuBan: 朗文大師:這個是那個吧?67F 04/25 22:05
推 cy4v: 嗯 跟我想的差不多69F 04/25 22:06
噓 jocabyu: 這已經是後設數學(數學哲學)的領域了吧...70F 04/25 22:06
推 love1129: 對啊對啊 就是我想的這樣嘛72F 04/25 22:06
推 lolic: 原來PTT可以打那麼多字阿 早知道我也來打了75F 04/25 22:07
推 jetzake: 前面沒那麼複雜啦 就是把有理數定義整個敘述一次這樣76F 04/25 22:07
→ nnkj: 第一句 假設我們已經知道了整數集合 < 假如我們不知道勒?79F 04/25 22:07
→ jetzake: 這個在數學系大二左右的基礎代數會教得很完整82F 04/25 22:08
推 tasin: 發個問 為什麼要寫(2+2)/4 = 4/4這段 QQ83F 04/25 22:08
推 EcstasyE: 這東西只有數學系看得懂,理工的不要裝懂84F 04/25 22:08
推 wt7410: 你可以不要這麼認真嗎87F 04/25 22:08
→ jetzake: 如果不知道整數集合 就要從自然數和0去定義整數系89F 04/25 22:09
推 jocabyu: 有在修進階邏輯的哲學系學生也看得懂90F 04/25 22:09
推 kipper: 恩恩,跟我想的一樣91F 04/25 22:09
推 asd159g: 太簡單了吧,早說阿~95F 04/25 22:10
→ jetzake: "(2+2)/4 = 4/4"這段是"有理數的加法運算定義"97F 04/25 22:10
→ jocabyu: if and only if 沒碰過哲學和邏輯的人應該很難懂是什麼99F 04/25 22:11
→ jetzake: 在step4裡面有做嚴格驗證 讓加法和乘法都是well-define103F 04/25 22:12
推 dtlove17: 那4/4=1/1是必要步驟嗎 記得國小學過相同兩數相除商=1105F 04/25 22:13
推 sfalco: 我理組的也看不懂107F 04/25 22:14
→ jetzake: 4/4=1/1這邊是在step3裡面驗證"等價類視為相等"108F 04/25 22:14
→ wuhumilktea: mq=np時就用了乘法,又說除法是乘法的逆運算,而分數其實就是除法。你定義了一個在你定義時就在用的東西幹嘛?109F 04/25 22:14
→ jetzake: 沒有那一步 你不能隨便說4/4=1/1這樣113F 04/25 22:15
→ jetzake: 乘法運算是要驗證的 除法本身就定義為"乘法的反運算"115F 04/25 22:15
推 ewjfd: 腦已燒毀119F 04/25 22:16
→ jetzake: 或者說 整數系的運算不能保證在有理數系可以用120F 04/25 22:16
推 jacky7987: 4/4這邊要看成(4,4)一類 他跟(1,1)是等價的121F 04/25 22:17
→ jetzake: 所以才要重新定義和驗證123F 04/25 22:17
推 dtlove17: 了解 謝謝jetzake124F 04/25 22:17
推 Blood5499: 簡單來說 學了離散 感覺就是一門自圓其說的數學126F 04/25 22:17
→ fishouse: 第15行有點小瑕疵 我覺得你再回去想想128F 04/25 22:18
推 SKLS: 嗯!我也是這樣覺得!129F 04/25 22:18
推 FB5566: 嗯............歐........啊!對誒...130F 04/25 22:18
推 cul287: 這用覽趴就能證明了132F 04/25 22:19
推 colies: 這....133F 04/25 22:19
推 andy90498: 你的若x~y &y~z則x~z這部分很奇怪 哪有一定成立的道理如果mannose跟glucose的關係是epimer
且glucose跟galactose的關係也是epimer
難道mannose跟galactose就是epimer的關係嗎139F 04/25 22:20
推 ghhjrr123: 謝謝你幫我打出來 要打這麼多有點累146F 04/25 22:21
推 Abysslol: 雖然我是文組 還好大學念數學系看得懂149F 04/25 22:21
推 jetzake: andy90498兄 那部分本文有做驗證啊 證明過才能用150F 04/25 22:21
推 FuSen000: 快推 不然別人說我看不懂154F 04/25 22:22
→ jetzake: step2裡面證明等價關係就是在搞這件事155F 04/25 22:22
推 k801030: 嗯嗯 跟我脫褲子放的屁差不多157F 04/25 22:23
推 Carsr: 推158F 04/25 22:23
推 isisss: 嗯嗯嗯 我也這樣覺得164F 04/25 22:26
推 scr1113: 未看先推。 反正我也不會看完165F 04/25 22:26
推 Abysslol: 不過要證明有理數環有需要那麼複雜嗎…174F 04/25 22:29
→ elle: 這就是理組178F 04/25 22:30
推 j29980424: 可惡 ~這東西我還是看不太懂
以後應該會學到179F 04/25 22:30
噓 det6875: 幹0糧完全看不懂182F 04/25 22:31
推 bombfox: 直接End,但是還是推推184F 04/25 22:31
→ penta: 好 我只看得懂前六行185F 04/25 22:32
推 Abysslol: 這其實算是代數建構數系最一開始的部分
文組文組 夜裡哭哭o'_'o189F 04/25 22:32
推 tree85: ........191F 04/25 22:33
推 jaceda: .........195F 04/25 22:33
推 DrWm: 文組只能推了196F 04/25 22:33
→ jajoy: 嗯嗯 跟我想的差不多197F 04/25 22:34
噓 AxelGod: 我文組啦 白話點啦198F 04/25 22:34
推 colan8: 你要證明逆運算也屬於Q才能繼續做下去199F 04/25 22:34
→ jeffwei66: 男人女人一人出一半得一人 生命科學系200F 04/25 22:35
→ colan8: 而且你要證完 Q屬於Z的completeness有無完備203F 04/25 22:36
推 watcha: 最後一行204F 04/25 22:36
推 milker: I knew it!205F 04/25 22:36
推 millyhh: 蝦毀啦......210F 04/25 22:38
推 thinkabout: 阿,原來等價關係跟等價類是這樣用的@@
一直納悶定義這個東西是拿來做啥的213F 04/25 22:39
推 sank: 直接end推215F 04/25 22:40
推 jetzake: 簡單說就是弄出"有理數的表示和運算方法"這樣 不難啦218F 04/25 22:40
→ jay0215: 寫得不錯 但有幾句可以再簡潔些220F 04/25 22:41
推 lawyer5566: 這個問題我已經想出絕妙證明 但推文空間太小 姑且略去222F 04/25 22:42
推 OHFine: 看不懂QQ223F 04/25 22:42
噓 qiod30: 你以為數學系真的懂?226F 04/25 22:43
推 coster: 崩潰!!229F 04/25 22:43
噓 yyoo4791: 這麼簡單也有人看不懂 可悲232F 04/25 22:44
推 jetzake: ㄟㄟ 數學系不懂這個會死人的啊 代數大二必修喔234F 04/25 22:44
推 fukmar: 跟我想的一樣 不錯 基礎很紮實235F 04/25 22:44
推 ccq1: 數學系4ni237F 04/25 22:44
噓 Fun2T: 紅的明顯 不要照抄我剛剛跟你說的好嗎?X238F 04/25 22:44
推 cat5672: 要搞成這樣可以簡單說是為了要確認那些概念沒有內在矛盾239F 04/25 22:45
推 diedoe2: 要不要這麼認真回廢文啊?240F 04/25 22:45
推 Abysslol: 大二必修不是線代嗎 代數是大三吧243F 04/25 22:45
推 ISNAKEI: 工科的看完:理科的證明=1了244F 04/25 22:45
推 jetzake: 線代不是大一嗎? 代數現在到大三才修?253F 04/25 22:48
推 Jordis: 崩潰惹QQ258F 04/25 22:49
推 sorcha: 推一個,雖然我沒看完259F 04/25 22:49
推 qwerrty: 趕快推假裝看得懂260F 04/25 22:50
推 ue28: 文組崩潰262F 04/25 22:51
推 md183: 我數學不好我承認@@263F 04/25 22:51
推 Abysslol: 我們系是線代大二代數大三265F 04/25 22:52
推 jetzake: 姆... 不過代數還是必修沒錯吧?266F 04/25 22:53
推 ibcc4861: 我只看得懂 中文跟 結果269F 04/25 22:54
推 saske31429: 般若波羅蜜多心經觀自在菩薩行深般若波羅蜜多時270F 04/25 22:54
推 PokeMo: 推 不然273F 04/25 22:54
推 WEIKUNG: 嗯嗯跟我想得一樣278F 04/25 22:56
推 shoga: 試證 1+1=2279F 04/25 22:57
推 t95912: 夠了 不要讓我再看到這個286F 04/25 22:59
推 k2902914: 這有甚麼難的?我根本看不懂而已啊288F 04/25 23:00
→ ko7811520: 同分母還同分是???分母系???292F 04/25 23:01
→ shibadog: 其實我覺得真正厲害的人是能夠把艱難的東西轉換成簡單的語言296F 04/25 23:04
推 kairiyu: 我小一的時候就自己推算過了299F 04/25 23:04
推 GARRETH: 你是在認真什麼啦!哩洗勒凜金啥?302F 04/25 23:05
→ kairiyu: 剛演算過一次 你的解法沒問題304F 04/25 23:05
推 beving: 這篇記著 睡不著就來看一下312F 04/25 23:08
推 THBouz: XDDDD 中午的一篇廢文竟然還會釣出認真文313F 04/25 23:08
噓 jevin: 第六步是在考我沒在看嗎314F 04/25 23:09
推 jeross: 穴穴泥~工具人~315F 04/25 23:09
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