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看板 Gossiping
作者 co766543 (天厭)
標題 Re: [問卦] 如何證明1+1=2
時間 Tue Sep 15 00:50:41 2015

注意！！文長！！

大家好，小弟數學系魯蛇

數學看起來是一門既深澳又沒三小屁用的學問

每個數學系的人都會被問到：你出來是要當數學老師嗎？(幹！我不能去711打工逆？

所以藉著這次1+1=2的冷飯，順便讓大家能稍微了解一下數學系所學以及思路

所以當數學系的學生被問到1+1=2如何證明時，下面的步驟應該是數學系學生的起手式，
同時也是數學證明的基礎學問

------------------------------------分隔線------------------------------------

一、所謂1+1是在哪一種背景下的1+1？在這種背景下1+1的意義為何？


也就是說，你所謂的1+1是以自然數為背景的1+1，還是有理數、複數、整數等等(注1)

在不同的背景下，意義、答案、證明方法皆有不同


舉個例子：如果今天背景(A)只有兩個數 A=｛0、1｝，而A是一個體(field)

則1+1=0  (先去了解field的定義，再用反證法得證)


回頭看前文的一些敘述，包含1的下幾個元素(elements)或是提到的皮亞諾(Peano)公理或
是公設

這些敘述就是以正整數(or自然數)為背景

這個背景是可數的(countable)同時也是一個order set(簡單來說就是裡面任兩個元
素可以比大小)

那麼1+1的意義是 [比1大的"下個"(next)元素] 同時我們定義這個元素叫做2

特別強調一點是"下個"為何不寫成"下一個"，因為這些背景是可數的，當我們遇到有些集
合(set)是不可數的時候，"下一個"的意義變得很模糊，而"next"的概念不再存在(下面還
會講到這個)



而皮亞諾公設則是確保了2屬於正整數(or自然數) (此為結論)

講的白話一點，就是說我們在前幾行定義的那個元素2屬於我們正在探討的背景，也就是
正整數(or自然數)

在更白話就是  [2他真的存在耶]  (撒花)

所以來點小結論：

1、 2是1的下個數字(1+1的意義，然後我們說"1+1"這個元素是2)

2、 2的確存在(2的確在我們討論的事實範圍內)



注1：
正整數：1 2 3 4……
自然數：正整數聯集0


------------------------------------分隔線------------------------------------

靠杯！！不是證明完了嗎？

當然還沒呀!你是瞧不起9.2還是覺得根號2不存在！

我們活在的這個世界還是存在著9.2呀!!(我的意思是有理數、無理數等等)

我們要正視9.2存在的問題(靠杯…歪了…)

我們自然所熟悉的是其實是實數(real number system)

無論高中、國中小數學的基礎大多都建立我們接下來要講的實數系


二、在實數的系統下，1+1=2怎麼證明？


我先公布答案：不用證明！！

原因是，實數具有［完備(completeness)性］，在這個性質下1+1=2是自然就成立的事情
！！

我們從上面的結論來做延伸


1、1+1在實數下的意義：

沒錯，又來了，1+1不就是1這個元素的"下個"元素嗎？

錯！如果2是1的下個元素的話，1.5哪去了？ 1.25呢？ 1.125呢?


實數是完全不同的系統，是不可數的，如同上面講的，"下個"的概念不見了


所以1+1到底是什麼？

前面幾篇文章也有提到所謂的"實數線"，所以來一條線


____________________________________________________________

這條叫做實數線




實數線上有個原點叫做0(或是我們說加法單位元素)


____________________________________________________________
           ↑
         這裡是0




數學家說要1(乘法單位元素)，於是就有了1


_____________________________________________________________
           ↑            ↑
         這裡是0       這裡是1



好！重點來了，"+1"是什麼？

就是1這個元素往後走"一定距離"的那個地方(點)，"+1"的"一定距離"就是［0到1中間的
距離］



_____________________________________________________________
           ↑            ↑            ↑
         這裡是0       這裡是1      這裡是1+1


然後我們就把1+1的那個點叫做2

如此也會有1+0.5=1.5  1+0.25=1.25等等

現在1+1的概念有比較清楚了

所以下一個問題就是1+1，也就是2到底屬不屬於實數



2、1+1=2屬於實數嗎？

答案是1+1=2的確屬於實數

原因就在於實數具有［完備性］

也就是說，我只要有一堆數字越來越接近2，而且這堆數字都屬於實數的話，2也屬於實數
 (此為結論)

之前上面的理論都沒證明，但是這個理論我會稍為敘述證明的思路

所以如何證明R(實數)具有完備性，證明如下：

1、(R,+,‧)是一種體(field)(裡面就包含了乘法、加法單位元素還有運算規則)

2、(R,+,‧,≦)是一種order field(如此一來實數可以比大小)

3、(R,｜．｜)是賦距空間(metric space) (這樣就有距離的概念了)

4、任一柯西數列在(R,｜．｜)的空間下收斂

5、上面那行收斂的那個數屬於(R,｜．｜)

這樣(R,｜．｜)便是完備的空間

另外有些人說我定義的實數跟他定義的實數或許不一樣呀！

最後還有一個定理就是只有實數是完備空間，也就是說如果我們定義出兩個看起來不一樣
的空間，但是都具有完備性的話，那兩個空間只是符號不一樣，意義跟運算方式都一樣。


以上這五點加上最後的定理要證明的話，大概就要花個十幾頁吧，而且我還沒寫中間要經

過兩個等價定理Least-upper-bound property跟Monotone sequence property

但是概念差不多是這樣

小結論：

1、 1+1的意義就是1加上［0到1之間的距離］的那個點，也就是2

2、 2的確是實數的一部分，因為實數具有完備性


------------------------------------分隔線------------------------------------

OK！只想看結論的看這裡

如果討論的背景是正整數(或是自然數)的話

1+1 就是 1的下一個數字，也就是2

因為有皮亞諾公設，2也屬於正整數(或是自然數)，所以1+1=2


如果討論的背景是實數

1+1 就是 1加上［0到1之間的距離］也就是那個叫做2的點

因為實數有完備性，所以2也屬於實數，所以1+1=2


以上的敘述就可以很方便的推定到2+1=3  3+1=4等等等

所以1+1=2定不是單純的定義，但也不是需要證明的東西

在種種公設、定理下，1+1=2比較像是一種必然性質


所以如果問：「1+1=2怎麼證明？」就代表數學跟你大概是無緣了

類似的問題到了數學系上的考試就會變成：試證實數系統具有完備性

在此希望「1+1=2怎麼證明？」這個問題就此打住

說真的，沒有任何數學系的人想要深究這個問題！沒有任何人！

------------------------------------更  新------------------------------------

太多人誤會了

1+1=2這件事情"絕對不是定義"而已

定義這種東西大家都可以來玩，今天有人要定義2+2=5(致敬某短片)，那2+2=5就是它的定義

只是這個定義既不是好的定義，也沒有任何實質上的幫助

如同說一個蘋果加上一個蘋果多少蘋果

如果是一大一小的蘋果呢？兩個重量不同的物品能相加嗎？顏色有不同的物品能相加？

如果我今天把大蘋果叫蘋果，小蘋果從此改名叫做果蘋，那還是兩個蘋果嗎？

所以我說定義大家都能定，絕對不是［就只是定義呀！］這麼簡單的


再把上述的第一個例子提出來

一個裡面只有0跟1的集合，你可以定義1+1=0或是1

但是如果你定義1+1=1

那這個定義在很多方面會有矛盾的現象，導致這種定義毫無用處

但是如果定義1+1=0

那如同上述所說，他符合"體(field)"的定義，同時也有很多好的性質

甚至在很多生活方面，這樣的定義是有意義的

甚至在代數的某些角度，這樣的集合比自然數性質更好

但是無論如何，這個集合裡沒有2，所以不論你怎麼定義1+1都不會是2

這也是為什麼我們要確定有個數是2，而且2也屬於我們探討範圍裡面


所以我再重申一次!!


1+1=2絕對不是因為他是定義

而是因為無論實數或是自然數，都有一些很好的性質在背後運作

因為這些性質的運作，1+1自然而然就是2

而這個2是我們上述探討意義上的2

如果你今天硬是要把符號3跟符號2對調，然後說1+1=3

但是那個3還是上述所說的 1加上［0到1之間的距離］的那個點


所以不要再說：「1+1=2就只是定義呀！！」

因為我從今以後要定義「1+1=2就只是定義呀！！」等類似的話都是廢話！！

                            廢！話！

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最後了，還是要替數學系講些話

每每跟人說我是數學系的，總會聽到下面的問句：「你以後是要出來當老師嗎？」

是的，我們學出來的東西的確大家看不懂，看似沒有用

在商店買東西的確用不到微積分、走路也不用算距離

但是無論是大家家裡的手機電腦(離散數學)、地圖導航(圖論、代數)、刷卡匯款(數論、
密碼學)、法律(邏輯)等等，都有數學家在背後才能成就的


數學家看似在枝微末節上鑽牛角尖，但實際上是在用最沒有例外、最嚴謹的角度去解釋我
們的宇宙

數學家看事情非常全面，源於數學證明需要有已知(資訊)，然後利用邏輯還有各種不同的
等價條件(也就是不同角度)，才能完整的證明一個定理

在生活上，我們也會收集資訊，運用邏輯與不同的角度解決問題

對於一個在數學系延畢的人來說，我的確對各種定理運用或是一堆專有名詞懵懵懂懂，但
是我在數學系學到解決問題的方法還有看事情的角度

所以希望大家以後遇到數學系的學生別再問「你會證明1+1=2嗎？」或是「你以後要當老
師嗎？」這種蠢問題！！！！！





請直接問：「你願意當我的男/女朋友嗎？」(<3)！！！！！！


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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1442249445.A.DE3.html
推 Goog1e: End1F 09/15 00:51
推 mylo: 你以後要當老師嗎？2F 09/15 00:52
噓 chasewang: 你想這篇想一個一個禮拜了吼3F 09/15 00:53
老實說...這篇真的想滿久的

推 z5582143: 你數學系？
結果往上翻真的是數學系。4F 09/15 00:53
推 yoyodiy: 我文組的數學不太好 但我知道最小的質數是06F 09/15 00:54
推 bsb0331: 幹 這篇好屌7F 09/15 00:55
推 mr955258: 讚8F 09/15 00:55
推 irus901: 猛個9F 09/15 00:55
推 gogohorse: 數學系出來要當數學老師嗎10F 09/15 00:55
推 wikileak: 用心11F 09/15 00:56
推 ogisun: 用心給推12F 09/15 00:56
推 shizuo: 太屌了…!推!!!13F 09/15 00:58
→ hinajian: 挑個蛋骨 你第一個field拼成filed了14F 09/15 00:58
感謝 已改

推 ianpig2: 趕快推以免別人以為我看不懂15F 09/15 00:58
推 q0000hcc: 數學果然是聰明人在學的16F 09/15 00:59
=w=算是鑽牛角尖吧XD

推 gemini2010: 我想問 數學的定理是不是已經到極限了17F 09/15 00:59

數學還有太多東西還沒被證明
證明完就會變成定理
也或許是人類的聰明才智真的有限
沒辦法什麼都證明出來


推 jiouje: 數學系？18F 09/15 01:00
推 ERT312: 兔草一下自然數不管有沒有包含0，都不是體(field)19F 09/15 01:00
遭糕，這裡忘慘了XD
明天早上再起來惡補一下
惡補完再來改

體公設...看來我書沒讀好:p

改好了

推 Steinadler: 給6F 最小質數是2...20F 09/15 01:01
推 gemini2010: 樓上新XDDDDDDDDDDDD21F 09/15 01:01
噓 craig100: field 翻成場就輸了  他是體 跟物理的場沒有任何關係22F 09/15 01:03
Sorry 已改

推 guocw3: 以前我小6的數學老師(導師)也逼我們證明 寫不出來就打23F 09/15 01:03
※ jameskey:轉錄至看板 Math                                        09/15 01:03
→ followwar: 你說的都是懂數學的資工系神人在做的XD24F 09/15 01:03

也不是啦XD
就只是有數學的基礎在裡面

推 sheet619215: 推這篇25F 09/15 01:05
推 joehuan: 代數的field翻成體喔26F 09/15 01:05

感謝 已改

推 jackXDD: 工三小27F 09/15 01:05
推 ayenliou: Yo大太神啦 不愧是破解rar的人28F 09/15 01:06
推 saiulbb: 太專業了 對不起我直接END QQ29F 09/15 01:07
推 silvermare: yoyodiy太神啦 不愧是破解rar的人30F 09/15 01:08
→ wiydluck: 提問 有一個數無法在某進制下整除 何種進制可表達31F 09/15 01:08

這...我可能...會放棄??

推 super1315566:32F 09/15 01:08
推 chad60711: 神文推，可是我看到快睡ㄓ33F 09/15 01:12
推 BENNY49: 你媽會叫你幫她算菜錢嗎？34F 09/15 01:12

我真的很會算...錯

推 francis545: 快推 免得別人說我看不懂35F 09/15 01:13
推 spinlol: 對不起我只看到了END36F 09/15 01:13
推 kuromu: 不是field37F 09/15 01:13
推 jeneaqa1: 哇~38F 09/15 01:18
推 a1684114: 太神啦39F 09/15 01:19
推 qaz223gy: 對不起 我直接拉到底了40F 09/15 01:20
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:30:14
推 leetzuwen: 太簡單了啦 end41F 09/15 01:21
推 edison06: 數學系淚推   這篇才真的要上新聞42F 09/15 01:22

先趕快幫我挑錯誤吧!!
有錯上還新聞好丟臉ToT

推 ccps934209: 趕快推以免別人以為我看不懂43F 09/15 01:22
推 MyersLi: 豪猛阿，第一次看八卦長知識44F 09/15 01:23
推 asdf70044: 誇謀啦 阿幹45F 09/15 01:24
推 g1geordie: 推ert31246F 09/15 01:24
推 hide0325: 跟我想的差不多 就是這樣47F 09/15 01:24
推 sorryfly: 我也這麼覺得48F 09/15 01:26
推 Azucat: 沒有錯啦49F 09/15 01:26
噓 stare7500: 以後只能賺22k 真可憐50F 09/15 01:27
推 Ponderer: 講那麼多，自然界根本沒有2（以及3、4...）51F 09/15 01:28
推 BaGaJohn5566: 厲害厲害  終於勾起以前補工數的回憶惹!!52F 09/15 01:31
推 pk90027: 乾~這篇太專業了 不推不行53F 09/15 01:32
推 a0989191968: 所以到底要不要當數學老師54F 09/15 01:35

我!不!要!

推 iceyeman: 淦...我看完惹.....55F 09/15 01:36
推 zun620: =)56F 09/15 01:37
推 error123: 我...我沒有按END呢！57F 09/15 01:40
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:48:53
推 KweParker: 覺得慘...我完全忘記了..   不敢說是數學系58F 09/15 01:43
推 matrix4096: 推 好認真59F 09/15 01:43
推 ya1357977889: 數學系淚推QQ....謝謝你60F 09/15 01:44
推 shallreturn: 看不懂 給推61F 09/15 01:45
噓 ontherun3325: 嗯 所以畢業後找到工作了嗎?62F 09/15 01:47
推 Verna800509: 教我數學吧（泣）63F 09/15 01:48
推 giveUstars: 看不完 只覺得我念數學系一定死 同情推64F 09/15 01:48
推 PF30: 幹，以前我老師也講過1+1=2聽起來像廢話，但解釋起來要花一節課，說不要浪費大家時間了
今天第一次看到有人解釋，總算理解以前老師講的了65F 09/15 01:49

我可是花了半學期才學到這裡ToT
(又花了兩年才真的搞懂...

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:50:33
推 anice100: 開始覺得有點懂惹68F 09/15 01:51
推 Giantpanda: 推69F 09/15 01:53
推 fransice7: 看無= =70F 09/15 01:56
推 techniclaire: 文組懶得看 但你好強71F 09/15 01:57
推 han19940608: 推認真文72F 09/15 01:59
噓 andy830708: 跟小一的解釋這麼長?73F 09/15 02:05
推 alvidan: 推 認真的數學系解題74F 09/15 02:05
噓 THH: 不要助眠好不好75F 09/15 02:07
推 mikeneko: 你把我上高微証complete的一連串過程勾起來了76F 09/15 02:07

哇哈哈
有苦大家受 有難大家享呀

噓 sky40280: 攻殺小 林碑文組77F 09/15 02:09
推 alchem: 超猛給個推78F 09/15 02:11
噓 jjelm: 專版79F 09/15 02:12
推 iuo: 數學系路過...   ： countable ordered80F 09/15 02:12
推 yeh0216: 上高偉時他也說過,要證明1+1=2可以寫三面黑板81F 09/15 02:13
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:25:22
推 tales1216: +U 多開發點好用的工具給我們電機系用 穴穴82F 09/15 02:15
推 telescope: 你願意當我的男朋友嗎？83F 09/15 02:20
推 iuo: 你手誤打錯兩個單字
                                  09/15 02:21
→ iuo: 好懷念高等微積分課  回憶湧上心頭 thank u85F 09/15 02:22

感謝 已改  英文頗差XD
每個數學系學生心中都有一門高微XD

噓 airbear: 想到單操86F 09/15 02:25
推 shinemirror: 看不懂QQ87F 09/15 02:27
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:31:53
推 HuntBear: 1+1=2也可發這麼長的文 真是不簡單88F 09/15 02:31
推 chihao5566: 你願意當我的女朋友嗎>///<89F 09/15 02:41
噓 Gushian: End90F 09/15 02:42
推 pttmelody: 你好強!!91F 09/15 02:51
推 home1188933: 對不起你太專業了嗚嗚92F 09/15 02:53
推 perry5216: 所以你要當男朋友還是女朋友93F 09/15 03:01
推 chaochao1988: 看到這篇想到恩師黃子嘉   希望他在天上少抽點煙94F 09/15 03:02
噓 BBQ2591: 一個蘋果再加上一個蘋果等於兩個蘋果 就這麼簡單95F 09/15 03:04
噓 molunptt: 幹太長了 直接end (撒花96F 09/15 03:09
推 Jupiter1129: 神人...推...97F 09/15 03:12
噓 jackilee: 蛋營養的高微.....好課值得一修再修98F 09/15 03:16
推 Jupiter1129: 最小質數為0～我支持這個說法 ……99F 09/15 03:29
推 MirageAngel: ==========================================猛舒暢!100F 09/15 03:44
推 nashmvp: 推101F 09/15 03:54
推 akay08: 重點是最後一句嗎XD102F 09/15 03:55
推 yuiscarlet: 推  念了一年還是不懂103F 09/15 04:12
推 der5566: 直接end104F 09/15 04:38
噓 dodo125: 廢文105F 09/15 04:45
推 aborwang: 推。。。106F 09/15 04:49
推 KayRoe: 講得很好啊。噓的在想啥？107F 09/15 05:20
噓 thm369541: 第一次看到數學系把field翻成場~您是物理輔數學背景吧?108F 09/15 05:54

原本要翻成域...但是不知道為啥打的時候打成場

推 freezesword: 沒看完 給推qq109F 09/15 06:28
推 wagy40402: 推110F 09/15 07:02
推 sunev: 「複距空間」 --> 「賦距空間」  你大陸人嗎？111F 09/15 07:12

感謝 已改
中文也不太好的說XD

→ moonshade: 你一下使用太多條線的思惟了，應該要從阿基米得那裏出出發，先從有無{0,1}開始，再從Archimedean property論述加法的本質
一下冒出field這個詞其實是倒因為果112F 09/15 07:19

感謝
我的確也有想過要從阿基米德開始
最後決定不提到它的原因是我覺得這個property是用來無限逼近用的
也就是我我的確可以找的一個數列無限逼近2
但是這樣又要講到數列還有無限的概念
我覺得有點太"數學"
所以最後就沒提到

另外field在實數的時候提出來，是因為它已經很清楚的定義了運算規則

簡單來說，這樣子的敘述證明在數學系的確不夠嚴謹，而且可能有很多不詳盡的地方
但是因為不是要給數學系的人看的，所以希望用淺顯易懂但是又不偏離核心概念的講法來
?

不過既然提到了Archimedean property
我們也來稍微介紹一下阿基米德細理(property翻譯成細理嗎?)


如果(if) 任意(for all)從order field(在這裡剛好是實數)中挑出一個元素(x)
         都能找到(exist)另一個在整數中的元素(n)，使得(such that) x<n
那麼(then)這個order field就有具有阿基米德細理


推 p2p8ppp: 阿鬼你還是說中文吧116F 09/15 07:26
推 cursedsoul: 所以你要當數學老師嗎？戳戳117F 09/15 07:36
推 chunyee: 嗯嗯 你說的沒錯118F 09/15 07:39
推 miohsieh: 略懂略懂119F 09/15 07:48
推 namboyui: 明明就是懂程式的數學家在做才對 數學系畢業推一個120F 09/15 08:11
推 cloudin: 慘了第二段開始我就看不懂了XDD121F 09/15 08:27
推 july81212: 最後一句讓我流下生科男兒淚惹122F 09/15 08:30
推 una0814: 直接end但給推123F 09/15 08:36
→ sionxp: 直接K他兩個拳頭 再問他 我打你幾拳?? 這樣比較快124F 09/15 08:37
噓 cg9: 推專業125F 09/15 08:40
→ Templar47: 給你一個支點.126F 09/15 08:51
推 yiyixxx: 你要當數學老師嗎? XD127F 09/15 08:56
推 BDUUU: 直接end推+1 XDD128F 09/15 09:02
推 mobilx: 數學系推,但是我想大部分人不會有興趣...129F 09/15 09:03
推 Legolasgreen: 有一部犯罪影集叫numbers，真的介紹了很多數學的用處，很好看130F 09/15 09:05

數字搜查線!!好看耶XD!!
不過說真的...主角講的東西我幾乎都沒聽懂
反正他會自己把結論弄出來=w=


推 pase139: 給推 但END132F 09/15 09:08
推 TassTW: 念數學出來可以當數學家啊133F 09/15 09:16
推 faker007: 看了都睡著了134F 09/15 09:28
推 jason830301: 快推 以免有人說我看不懂135F 09/15 09:32
推 LucasChen: 認真好文給推136F 09/15 09:33
推 ringo10562: 真正的數學系！！137F 09/15 09:42
推 jazz19860929: 推138F 09/15 09:42
推 qsceszasd: 你願意當我的男/女朋友嗎？139F 09/15 09:52
推 kmjhome: 數學系 推140F 09/15 09:54
推 roger51306: 看不懂 還是給推141F 09/15 09:56
推 zxeterzx: 不愧是數學系，快睡著了142F 09/15 10:02
推 Taiwanotoko: 看到一半我竟然睡著了...這超乎我的理解範圍了...143F 09/15 10:41
推 hungpeter: 數學老師讚讚讚144F 09/15 10:51
推 sizumaru: 感謝有你145F 09/15 10:59
推 Heimdallwind: 文組看謀146F 09/15 11:00
推 abc1231qa: 體只學過Galois field......147F 09/15 11:03
推 kktt254: 25PTT幣148F 09/15 11:04

有沒有人要贊助我的ToT
發文的時候看到只有25P好想哭...

推 Jupiter1129: 為啥還沒爆？149F 09/15 11:15
推 byon1009: 因為看不懂 當然很難爆啊150F 09/15 11:21
推 fixxxxx: 翻成中文頗奇怪 用數學語言好嗎151F 09/15 11:29

用數學語言的話連我自己都想睡了啦XD

推 ayugioh2003: 推一下152F 09/15 11:32
推 krisss: 我認輸了153F 09/15 11:42
推 irene160: 看不完直接推154F 09/15 12:00
推 saedn: 好厲害的中文!! 太強大了!! 你一定有女友對不對!!155F 09/15 12:30
推 tommy5301324: 幹太屌了 我跪了156F 09/15 13:28
推 machungxi: 這時候要說我是文組的157F 09/15 13:41
→ whitelie14: 我問一下露西158F 09/15 13:46
推 abc0229: 推!!!159F 09/15 14:00
推 xx52002: 自然數在各國的定義不太一樣，但是台灣都直接當成正整數而沒有聯集到 0 吧？160F 09/15 14:31

的確，但是我比較喜歡把0也納到自然數裡
主要是可以跟正整數有所區別以外
0對我而言也是大自然的一部分
這就比較偏向哲學的角度了


推 william0612: 數學系路過幫推162F 09/15 14:48
推 tmlt0912: 你數學系!?163F 09/15 14:50
推 ghytrfvbnmju: 數學系路過推164F 09/15 14:54
推 slc172: 看到最後一句才發現是自肥文 XD165F 09/15 14:55
推 feresa: 第一點有錯字，應該是「反證法」？166F 09/15 14:57

感謝!已改!!

→ feresa: 所以原po願意當我的男朋友嗎？<3167F 09/15 14:58
推 cmrafsts: 數學系魯蛇淚推168F 09/15 14:58
噓 shiow1026: 各國定義不一樣？…罰你重背ISO169F 09/15 14:59

對不起，我會找時間把我自己砍掉重練...

推 jacky3838: 一堆可悲廢物文組170F 09/15 15:03
推 lbowlbow: 如果同性跟你告白你會接受嗎XD171F 09/15 15:04

不會!!!!!!!!!!!!!

推 mightysuns: 廳的懂給推172F 09/15 15:05
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:23:26

推 bravo150900: 所以你最後是當攻城屍嗎173F 09/15 15:20

小弟最後走運動路線!!

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:27:52
推 penril0326: 看不懂給噓174F 09/15 15:25
推 killmath: 看到這篇...我的帳號表示...175F 09/15 15:28

完完全全支持你呀!!

推 harry80927: 身為數學系畢業的，必推176F 09/15 15:36

能畢業!就是神!

推 Violence5566: 你喜歡高斯嗎177F 09/15 15:36

很不是非常太喜歡
不喜歡啦>o<!!
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:41:46
推 Silwez: 我覺得數學系是世界上最強的系了 其他的系都應該（ry178F 09/15 15:40
噓 powerkshs: 自然數沒有0.....179F 09/15 16:00
推 original77: 看完這篇 想到當初一修再修的日子 淚推180F 09/15 16:11

剛過完一修在修的日子ToT

推 destiny71927: 太猛了 理工來推一下!181F 09/15 16:16
推 Anth: 推認真！182F 09/15 16:25
推 mollykuo: 你的水見式結果是甚麼~~183F 09/15 16:53
推 interleukin6: 深入淺出推!!怎麼還沒爆?184F 09/15 17:28
推 showdoggy: 所以你不當數學老師要幹嘛? 到7-11打工嗎?185F 09/15 17:40

教練！！我想打籃球！！(其實都在練跑酷...

推 eric1022: 數學系朝聖推！186F 09/15 17:45
推 qazaqqazaqqq: 推187F 09/15 17:48
推 freakyome: 看不懂...但推最後一段188F 09/15 19:16
推 h332563145: 文組推一個189F 09/15 19:34
推 kshtainan:190F 09/15 19:48
推 RLH: 數學好難喔191F 09/15 20:54

我也這麼覺得...

推 slimu0001: 說不定妖魔鬼怪也是一種數學能夠證明的東西192F 09/15 21:09

可能要請教哲學系或物理系的XD

推 SUMI0814: 所以你願意當我的男朋友嗎>_<193F 09/15 21:12
推 sdf611097: 太神啦194F 09/15 21:43
推 tony0223tw: 中文系：幹！講中文好嗎？195F 09/15 21:51

中文好嗎？

推 WEIKUNG: 我文組大概只看的懂6成 好廢  果然不同世界196F 09/15 21:51

文組懂6成！！你比我強多了...

推 chasewang: 好啦我三樓 在這裡補推197F 09/15 21:58

感謝囉>o^

推 zuozuomu: >\\\\\\\\\\\\<好強唷198F 09/15 22:08
推 mx6766: 推199F 09/15 22:11
推 link5566: 我離散ring field那邊都直接跳過...200F 09/15 23:12
推 gn03291206: 推201F 09/15 23:13
推 hotbeef: 同是數學系只能推了202F 09/15 23:32
推 toosilence: 人帥真好203F 09/16 00:01
推 acardia: 數學系大推  覺得現在讀數學所也自愧不如204F 09/16 00:26
--------------------------------嗨賴------------------------------
推 f8077919818: 原Po跑酷帥哥205F 09/16 00:54
推 gunlinbanana: 他沒女友 大家快上206F 09/16 00:59
------------------------------------------------------------------
推 qas612820704: 什麼 原來我不在Graduate板
我看到很多文組吱吱崩潰XD207F 09/16 01:56
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/16/2015 02:51:02
噓 mos588p: WTF209F 09/16 04:15
推 MissPigHead: 推啊～210F 09/16 09:01
推 sktynnic3421: 文組 看得懂 但也不知道是不是真的懂了XDD 好險當初沒走數學系(？211F 09/16 09:18

略懂，略懂

推 september39: 我只會A=A+1, 阿賓老師教的....你有學過嗎213F 09/16 09:26

看起來像是程式迴圈？

推 zxp930110: 推~~ 太猛惹XD214F 09/16 09:27
推 e86117934: 你是證明系喔？215F 09/16 10:37
推 xgreen1001: 數學系畢業淚推216F 09/16 10:40

畢業都是神

推 x85160: 數學系朝聖推(?217F 09/16 11:58
-----------------------------------------------------------------
推 h2o1125: 看不懂為啥要扯到實數完備性 整數加法群本身就有封閉性只要用整數加法群 +皮亞諾公理 就可以證出來了不是嗎
1+1=2的證明 主要是皮亞諾公理 與定義+1為後續數
證明加法運算是well-defined的二元運算  就證完了
你的講法倒果為因 用複雜的東西證明簡單的東西 不太對218F 09/16 13:10

你講到了實數跟整數

我們一定要先把這個東西弄清楚，所以我們先講實數是怎麼被我們定出來

首先我們已經有了大自然界中的自然數(先假設0也在裡面)

在皮亞諾公設下，自然數加上代數的作用，我們可以創造出整個整數(正、負整數跟0)

有整數之後，我們再利用代數再填補出有理數，於是我們離實數就差一點點了

還差了些甚麼呢？就是沒辦法被表示成分數的無理數

於是我們用有理數去逼近無理數(方法很多，本篇的方法就是用柯西數列逼近)

至此我們才有了完整的實數(維度是一的實數)


為什麼要講這個呢？

因為實數跟整數就是不一樣！！

我們探討皮亞諾公設的時候，常常講到"後繼數"

在自然數的情況下1的後繼數就是2

那實數呢？如同上述所說的，在實數的情況下1有沒有所謂的後繼數？

是2？   1.5？   1.25？

無論你選一個在怎麼靠近1的數，只要那個數不是1，那我就可以找到比你更靠近的數

後繼數這個概念在實數中消失了

那皮亞諾公設能不能用呢？

說實話我不知道，皮亞諾公設還有後續的變形公式

但是我沒有學到那個，也不知道適不適用於實數

但就我所學，實數已經不適用於初階的皮亞諾了

而且我記得我上面有提過，在自然數的情況下，我也是用皮亞諾去解釋的...

而封閉性其實是從這裡來的

我承認我直接須略掉封閉性，而只取用了運算規則的部分

因為我不認為深究在那個點上，會對1+1=2這件事有更多的理解

我希望的只是提供一個概念，而非嚴謹的證明

要嚴謹的證明，網路上的資料通通有，所以我也不必獻醜=w=

我是這樣想啦...

※ 編輯: co766543 (140.115.26.93), 09/16/2015 15:24:14
推 qweertyui891: 所以你要當數學老師嗎?223F 09/16 14:56
噓 xcycl: 錯慘了還一堆數學系的朝聖...224F 09/16 15:06

請大哥指點小弟一翻，小弟願意受教
※ 編輯: co766543 (140.115.26.93), 09/16/2015 15:25:41
→ Babbage: h2o1125說的是對的，你完全不需要提實數完備性，那是本末倒置。本來整件事就和實數無關。225F 09/16 15:46

是這樣的，如果我開始改成問1+0.5=1.5，或甚至我加個無裡數

那皮亞諾公設就沒辦法提供，我們要的結論啦

既然能有一個更泛用的理論，而且又貼近現實

那為何我要一直在意整數呢

如果只討論整數，那當然跟實數無關呀

但是如果我開始討論實數軸呢？那就有關了嘛！

推 Szss: 老媽：1+1=2 那高麗菜今天1顆50 明天100變0.5顆 何解？227F 09/16 16:12

這個問題你要問九哥或是毛哥

九哥可能會跟你說：「買一顆高麗菜不夠，你有買兩個嗎？」

另外如果你找到毛哥的話...我相信很多人也在找他...

噓 ryanblue: 我在__系學到解決問題的方法還有看事情的角度
上面空格帶入任一科系名稱都能成立
所以你這句話是在我看來是徹底廢話 by生蚵魯蛇的我228F 09/16 16:27
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/16/2015 16:36:12
→ l95566: 無聊 數學家怎麼不都去吃大便 幹231F 09/16 16:39
推 Kmmmmmmmmmmt: 1=1 這是邏輯概念 自然界沒有 1=1 吧?
    比如   1個蘋果=1個蘋果 1kg=1kg 實際上都有誤差  就算是原子 也只是 近乎等於而已232F 09/16 16:52
推 h2o1125: 你再喇叭啊 實數根本沒有定義後繼數
1+1=2 要證明 只要討論 1 + = 2 這些符號的意義即可
你扯這些奇怪的東西根本就是亂七八糟莫名奇妙
文中根本也沒提科西  你的實數完備性用在哪？
1+0.5=1.5  跟1+1=2完全是兩種不同概念
1+0.5=1.5 你要先定義實數  但是1+1=2根本用不到實數
皮亞諾公設即可證明  你的講法只是代表你根本不懂
就像要證<Z,+,*>是個環  你卻說他是個體 所以得證
根本亂七八糟莫名奇妙 用後面的結果去證前面的公理 亂扯你根本就看不懂皮亞諾運算  才會亂扯這些有的沒的
GOOGLE 1+1=2 第一篇就有證明  不過你的程度應該看不懂所以才會扯體  實數有的沒的  根本抓不到重點235F 09/16 17:09
推 Kmmmmmmmmmmt: 我記得 地球是平的 XD247F 09/16 17:17
→ h2o1125: 整個證明重點在 + 的定義看似直觀簡單 還是需要well-def1+1=2 實數+實數落在實數 是封閉性 不是完備性
完備性一般用在wel-stras逼近定理 等要證有界數列
必收斂  而且收斂點是實數 跟1+1=2根本天差地遠
拿你的文章去給你代數學教授看看  這種程度敢說是數學系你自己去看轉到math版的文章  跟我說的一樣 根本鬼扯
只能騙騙八卦版的假理組  這也證明我之前說數學系
90%都是混畢業的XDD248F 09/16 17:18
推 suhorng: 題外話是，如果你知道我們到底用過多少實數，那實數其實是個相當不真實的東西呢。256F 09/16 19:17
推 mvp04: 你教的比教授好 XD258F 09/16 19:44
推 x710142857: 雖然我也不是很懂，不過這篇文章的邏輯真的怪怪的，當然說不定是我搞錯了XDD。就在下所知，數學家是為了解決ordered field完備性的問題而建構了實數。
所以實數本身就具有完備性。因為他就是為了完備性而建造的。我覺得這樣說比較自然，原文裡事先有了實數再去看完備性，這樣其實挺不自然的....
比較自然的思考順序應該是1.零和一 2.自然數 3. 整數4. 有理數....然後人們發現很多奇怪但不屬於有理數的數，像是pi和根號二，為了說明這些數到底是從哪來的然後建立了一個包山包海，具有完備性的系統，那就是實數。至於由有理數所建構出具有完備性的系統是唯一的，那就是另外的故事囉XDD259F 09/16 21:00
推 Jupiter1129: 我可以當你男朋友嗎？271F 09/17 01:49
推 mx6766: 推272F 09/17 07:32

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