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※ 引述《shaichi5566 (鞋志™ )》之銘言：
: ½  +  ½  為什等一
: 這定義到底是誰訂出來的
: 二分之一 又是甚麼概念
: 有沒有二分之一加二分之一的 八卦

原 PO 問了兩個問題：

1. 1/2是什麼？

2. 為何 1/2+1/2 = 1

讓敝魯用數學的語言來回答吧（其實是來賺 P 幣的？）



假設我們已經知道了整數集合 Z = { 0, ±1, ±2, ...}，

我們要利用整數來建構有理數，這樣便可以完整回答那兩個問題。



Step1:

先考慮集合 R = Z ×  Z* = {(m,n)| m∈Z, 0≠n∈Z}。

這個 R 就是我們要用來建構有理數的開始，可以想成左邊放分子，右邊放分母。

Step2:

對於 (m,n) 及 (p,q) 在 R 裡面，定義一個關係(relation)「~」如下

    (m,n)~(p,q) 若且唯若 mq = np

我們證明它是一個等價關係(equivalance relation)，亦即「~」滿足下面三件事情

(a) 對於每個 x∈R，x~x

(b) 對於每個 x,y∈R，若 x~y 則 y~x



假設 (m,n), (p,q), (s,t)∈R 滿足 (m,n)~(p,q) 且 (p,q)~(s,t)。


根據「~」的定義，我們知道 mq=np & pt=qs，故 mqt = npt = nqs。

因為 q 不是零，兩邊除掉 q 後得到 mt = ns。

亦即 (m,n)~(s,t)，這證明了 (c)。

Step3:

有了在 R 上的等價關係「~」後，我們就可以定義等價類(equivalance class)如下
                   _
    對於 x∈R，定義 x = {y | y~x}

我們有以下的定理：
         _    _       _  _                _   _
    給定 x 與 y，如果 x∩y 不是空集合，則 x = y

定理證明：
       _       _  _                          _  _
給定 z∈x，因為 x∩y 不是空集合，故存在元素 w∈x∩y。

亦即 z~x, w~x 以及 w~y。

根據等價關係的 (b) 與 (c)，由 z~x 與 w~x 得到 z~w。

再用一次 (c)，由 z~w 與 w~y 得到 z~y，所以 z∈y。
     _        _
因此 x 包含於 y。
                     _        _       _   _
用同樣地論述可以得到 y 包含於 x，所以 x = y，得證。
                                   _   _
這個定理的簡單推論是：x~y 若且唯若 x = y。

Step4:

對於 (m,n)∈R，我們把它的等價類記為 m/n。
                _____
也就是說，m/n = (m,n)。
                                                   _____
這邊已經回答了原 PO 的第一個問題了，1/2 的定義就是 (1,2)。

現在定義有理數集合如下
               _
    Q = R/~ = {x | x∈R}

然後定義有理數的加法與乘法：給定 m/n, p/q∈Q

    m/n+p/q = (mq+np)/nq

    (m/n)(p/q) = mp/nq

不過這樣有個問題，就是我們定義運算的時候，是用等價類的代表元去運算，

如果我們換一個代表元的話，運算結果會不會不同呢？

也就是說，如果今天 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q' 的話，

那會不會有 m/n+p/q = m'/n'+p'/q' 呢？

所以我們現在要證明這樣定義的加法與乘法是好的(well-defined)：

假設 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q'，



故 (mq+np)n'q' = (mn')qq'+nn'(pq') = (nm')qq'+nn'(qp') = (m'q'+n'p')nq，

所以 (mq+np,nq)~(m'q'+n'p',n'p')。

根據定理之推論，得證 (mq+np)/nq = (m'q'+n'p')/n'q'。

另外，(mp)n'q' = (mn')(pq') = (nm')(qp') = (m'p')nq。

所以 (mp,nq)~(m'p',n'q')，同樣地得證 mp/nq = m'p'/n'q'。

所以加法與乘法都是 well-defined。

是說減法與除法不須特別定義，因為他們是加法與乘法的逆運算。

Step5:

有了有理數 Q 之後，我們當然會關心它與原本整數 Z 的關係。

考慮這個函數

    ι: Z → Q

        n → n/1

可以輕易地證明函數 ι 保持運算，也就是對於 m,n∈Z，我們有

    ι(m+n) = ι(m)+ι(n)

    ι(mn) = ι(m)ι(n)

另外，顯然地 ι(m) = ι(n) 可以得到 m = n，

所以 Z 與 ι(Z) = {n/1 | n∈Z} 代數結構完全相同(isomorphic)。

因此我們就把 ι(Z) 看做我們的整數了！

也就是說，以後整數 n 都可以看做 n/1 這樣 :D

Step6:

現在來回答第二個問題，1/2+1/2 究竟為何等於 1。

根據加法的定義，1/2+1/2 = (2+2)/4 = 4/4 = 1/1 = 1。

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