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看板 Gossiping
作者 標題 [問卦] 【七維空間是否成立？】數學家集結 40 台
時間 Fri Sep 4 13:08:40 2020
難題備註請放最後面 違者新聞文章刪除
1.媒體來源:
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科技橘報
2.記者署名:
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※ 外電至少要有來源或編輯 如:法新社
責任編輯：賴佩萱
3.完整新聞標題:
※ 標題沒有完整寫出來 ---> 依照板規刪除文章
【七維空間是否成立？】數學家集結 40 台電腦算力，半小時破解困擾 90 年的凱勒猜想
難題
4.完整新聞內文:
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https://imgur.com/lC2J66P.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/lC2J66P.png)
【我們為什麼挑選這篇文章】德國數學家 Ott-Heinrich Keller 於 90 年前提出了所謂
的「凱勒猜想」，這是一個用相同瓷磚覆蓋空間的問題。他對每個維度的空間做出論斷：
在 n 維空間裡，用 n 維立方體填充空間，兩個相鄰的單位體會共用 n-1 個維面。
的「凱勒猜想」，這是一個用相同瓷磚覆蓋空間的問題。他對每個維度的空間做出論斷：
在 n 維空間裡，用 n 維立方體填充空間，兩個相鄰的單位體會共用 n-1 個維面。
有關各維度的論證一一浮出檯面，唯讀 7 維空間遲遲未解，但近期在 40 台電腦的強大
算力下，這個難題終於有解了！（責任編輯：賴佩萱）
本文經 AI 新媒體量子位（公眾號 ID：QbitAI）授權轉載，轉載請連繫出處
數學家會程式碼，誰也擋不住！就連困擾人類 90 年的數學猜想也擋不住。來自史丹佛、
CMU 等名校的 4 名數學家，將一個數學難題轉化成了對 10 億個結果進行「暴力搜索」
。
CMU 等名校的 4 名數學家，將一個數學難題轉化成了對 10 億個結果進行「暴力搜索」
。
冷門數學題終於破解
他們把這串程式碼輸入 40 台電腦組成的計算集群，30 分鐘後，電腦給出了一個 200
GB 大小的證明結果： 凱勒猜想在不超過 7 維的空間是成立的 。
現在，任何人都可以去 GitHub 上複製這串程式碼，驗證這一數學定理。比較意外的是，
這段獲得電腦學術會議 IJCAR（國際自動推理聯合會議）最佳論文獎的程序，上線
GitHub 半年，只獲得一顆星。
https://imgur.com/0MgdeBp.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/0MgdeBp.png)
證明的結果可靠嗎？
下面讓我們一一道來。
什麼是凱勒猜想？
假如用一批完全相同的正方形瓷磚鋪滿地面，中間不留空隙。顯然，瓷磚之間會共用一條
邊，如下圖藍線所示：
https://imgur.com/m2H75xz.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/m2H75xz.png)
在 3 維空間中，如果要用立方體佔滿空間，是不是也和 2 維空間類似呢？
想像一下，如果像下圖那樣在空間中隨便放入幾個立方體，由此展開填滿整個空間，那麼
唯一的辦法就是讓接上的立方體共用藍色的面。
https://imgur.com/GgqVF5C.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/GgqVF5C.png)
2 維、3 維皆如此，更高維度的空間會怎樣？1930 年，德國數學家凱勒猜測，如果用 n
維立方體填滿無限空間，則立方體之間必然會出現「面對面」，對於任意維度都成立 。
這便是凱勒猜想。
維立方體填滿無限空間，則立方體之間必然會出現「面對面」，對於任意維度都成立 。
這便是凱勒猜想。
但數學猜想不能僅靠直覺，必須有嚴格的證明。90 年來，數學家一直不懈努力。1940 年
，數學家 Perron 證明了凱勒猜想在 1 到 6 維空間是成立的 ；1992 年，另外兩位數學
家 Lagarias 和 Shor 證明，凱勒猜想在 10 維空間上是不成立的 （注：這位 Shor 就
是那個提出用量子計算機求解質因數分解的數學家）
，數學家 Perron 證明了凱勒猜想在 1 到 6 維空間是成立的 ；1992 年，另外兩位數學
家 Lagarias 和 Shor 證明，凱勒猜想在 10 維空間上是不成立的 （注：這位 Shor 就
是那個提出用量子計算機求解質因數分解的數學家）
那還有 3 個維度沒有解決呢！在 7 維、8 維、9 維 三個維度空間中，凱勒猜想是否成
立？
有數學論證表明，如果凱勒猜想在 n 維空間上是錯的，那麼它在比 n 更高的維度上也一
定是錯的。2002 年，數學家 Mackey 已證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立，因此在 9
維空間也不成立 。
至此，7 維空間成為唯一的難題。
修改證明方法：電腦「圖論」
可能你已經發現，從上世紀 90 年代以來，凱勒猜想的證明速度大大加快，數學家只用
了 10 年時間就把問題縮小到三個維度。
這主要得益於兩位數學家的貢獻。當年，Perron 求解 1 到 6 維度時，沒有特殊的捷徑
。而到 1990 年，凱勒猜想的證明方法發生了巨大的變化。
數學家 Corrádi 和 Szabó 提出了一種新的方法，把原來無限空間的問題變成有限、離
散的問題，也讓電腦解決凱勒猜想成為可能。
他們巧妙地把凱勒猜想變成圖論問題，就是構造所謂的凱勒圖（Keller Graph），而圖論
正是電腦所擅長的。
在這種方法的指導下，Lagarias 和 Shor 兩人很快在 2 年後就證明了 10 維空間的情況
：凱勒猜想不成立。又過了 10 年，Mackey 證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立。
那麼，凱勒圖究竟是什麼，它為什麼能夠加速凱勒猜想的證明？
解析「凱勒圖」構造
首先，我們從最簡單的 2 維情況說起。現在，我們有一種牌，牌上畫著兩個有顏色的點
，兩個點是有順序的，不能調換，比如，1 黑 2 白≠1 白 2 黑。
兩個點總共可以塗 4 種顏色，顏色分成 2 對：紅色對綠色、白色對黑色。數學家已經證
明，分配給點的顏色相當於正方形在空間中的坐標。兩張牌的顏色是否配對標示了兩個正
方形的相對位置。
明，分配給點的顏色相當於正方形在空間中的坐標。兩張牌的顏色是否配對標示了兩個正
方形的相對位置。
點的顏色與正方形的具體關係是這樣的：
1. 兩對點完全相同，表示兩個正方形完全重疊
https://imgur.com/DjtdhwG.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/DjtdhwG.png)
2. 兩對點顏色都不同，且顏色都不配對，表示兩個正方形有部分重疊
https://imgur.com/qeWl5Gk.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/qeWl5Gk.png)
3. 一對點顏色相同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形共用一個邊
https://imgur.com/zZA2qUN.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/zZA2qUN.png)
4. 一對點顏色不同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形的邊相互接觸但不重合
https://imgur.com/Tyt43Sx.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/Tyt43Sx.png)
2 個點的凱勒圖，要用 2 對顏色去填充牌面，總共有 16 種情況。然後我們把這 16 張
牌擺在桌上，只有符合前面條件 4 的兩張牌，才能用線將二者連起來，這樣就構成了一
張「凱勒圖」。
牌擺在桌上，只有符合前面條件 4 的兩張牌，才能用線將二者連起來，這樣就構成了一
張「凱勒圖」。
https://imgur.com/Tzwm2zy.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/Tzwm2zy.png)
包含 16 張牌的凱勒圖就描繪了正方形填補平面的所有可能。如果 2 維空間中凱勒猜想
不成立，那麼我們肯定能找到 4 個正方形，它們之間沒有共用的邊，但是能夠無縫隙地
填在一起，然後在屏幕上無限複製這 4 個正方形，就能填滿整個螢幕。
不成立，那麼我們肯定能找到 4 個正方形，它們之間沒有共用的邊，但是能夠無縫隙地
填在一起，然後在屏幕上無限複製這 4 個正方形，就能填滿整個螢幕。
實際上並不可能。如果按此操作，只會得到有著無數孔隙（下圖紫色部分）的填充方式。
https://imgur.com/eh3E2V8.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/eh3E2V8.png)
對應到凱勒圖中，就是在圖中找到 4 張牌，它們兩兩之間都有連線（在數學上，這叫做
完全圖）；顯然，在 2 維問題的凱勒圖中，我們找不到這樣的 4 張牌（可以自己去上面
的凱勒圖中找找看）。
完全圖）；顯然，在 2 維問題的凱勒圖中，我們找不到這樣的 4 張牌（可以自己去上面
的凱勒圖中找找看）。
https://imgur.com/Xwv1HkE.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/Xwv1HkE.png)
這樣，我們把就把 n 維立方體以及位移 s 與牌的點數 n、顏色對數 s 聯繫起來。
作為更一般的規則，如果要證明 n 維凱勒猜想是錯的，就要在對應的凱勒圖中找到 2n
張牌，且這些牌兩兩相連，但正因為你找不到 4 個張牌組成的完全圖，所以 2 維空間的
凱勒猜想是對的。
為了在 3 維空間中證明凱勒猜想，可以使用 216 張牌，每張牌上 3 個點，並可以使用
3 對顏色（這一點相對靈活）；然後，我們需要尋找 23=8 張牌，它們兩兩之間都有連線
，但還是找不到。
到了 8 維空間中，我們總算可以找到符合條件的 256 張牌，所以 8 維空間的凱勒猜想
是錯的。
https://imgur.com/moZYPjh.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/moZYPjh.png)
七維空間為什麼那麼難解？
接下來的事情就是在 7 維空間對應的凱勒圖上尋找完全子圖。然而這個問題卻從 8 維問
題解決後被擱置了 17 年。
根據前面的說明，求解 8 維空間和 10 維空間的凱勒猜想，要尋找 28=256 和
210=1024 張牌的子圖，而 7 維空間只要尋找 27=128 張牌的子圖。
後者的難度似乎更小，7 維空間的問題應該更簡單啊！其實不然，因為從某種意義上說，
8 維和 10 維可以「分解」為容易計算的較低維度，但 7 維不行。
證明了 10 維情況的 Lagarias 說：「7 維不好，因為它是質數，這意味著你無法將其分
解為低維，因此別無選擇，只能處理這些圖的全部組合。」
對於人腦來說，尋找大小為 128 的子圖是一項艱鉅的任務，但這恰恰是電腦擅長回答的
問題。
電腦幫幫忙！超強博士生做到了
此前證明 8 維問題的 CMU 教授 Mackey 拉上了史丹佛的數學系博士生 Brakensiek 和專
長電腦輔助證明的助理教授 Heule。
回憶起立項的那天，Mackey 說，Brakensiek 是真正的天才，看著他就像看著 NBA 總決
賽里的 LeBron James。Brakensiek 本人確實很厲害，他曾是 2013/14 兩屆國際訊息學
奧林匹克賽（International Olympiad in Informatics，IOI）金牌得主。
賽里的 LeBron James。Brakensiek 本人確實很厲害，他曾是 2013/14 兩屆國際訊息學
奧林匹克賽（International Olympiad in Informatics，IOI）金牌得主。
https://imgur.com/jA7lu1i.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/jA7lu1i.png)
言歸正傳。為了方便電腦求解，他們換了個方向來思考：先設定牌上有 7 個點、6 種可
能的顏色，按照前面的「條件 4」對這些牌上色，看看能不能找到 128 種不同的填色方
法，如果找不到，那麼凱勒猜想成立。
能的顏色，按照前面的「條件 4」對這些牌上色，看看能不能找到 128 種不同的填色方
法，如果找不到，那麼凱勒猜想成立。
用電腦輔助證明數學問題，還需要把它變成一系列邏輯運算，也就是處理 0 和 1 之間的
與或非關係。
若要求解 7 維，則總共包含 39000 個不同布爾變量（0 或 1），有 239000 種可能性
，這是一個非常非常大的數字，有 11741 位數。
https://imgur.com/sL6KzzX.jpg
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/sL6KzzX.png)
數學家利用排除法和對稱性，縮小可能解方
一台普通電腦只能處理 324 位數種可能，離解決問題還遠得很，就算交給超級計算機也
不夠；但是，這幾位數學家想到了排除法，只要得到結論，而不必實際檢查所有可能性。
效率才是王道！
不夠；但是，這幾位數學家想到了排除法，只要得到結論，而不必實際檢查所有可能性。
效率才是王道！
比如，用電腦規則給 128 張牌上色，當你塗到第 12 張牌的時候，發現找不到符合條件
的下一張牌了。那麼所有包含這 12 張牌的排列都可以排除；提升效率的另一種方式是利
用對稱性。如果已經驗證了某種排列不可能，那與之對稱的所有情況都可以排除。
的下一張牌了。那麼所有包含這 12 張牌的排列都可以排除；提升效率的另一種方式是利
用對稱性。如果已經驗證了某種排列不可能，那與之對稱的所有情況都可以排除。
透過這兩種方法，他們把搜索空間縮小到 10 億（230）。這樣一來，用電腦搜索變成了
可能。
最終，他們僅計算了半個小時，便有了答案。
電腦沒有找到符合條件的 128 張牌，所以 7 維空間的凱勒猜想確實成立 。實際上，電
腦提供的不僅僅是一個答案，證明的內容多達 200 GB。4 位論文作者將證明送入電腦的
證明檢查器，確認了它的可靠性。
腦提供的不僅僅是一個答案，證明的內容多達 200 GB。4 位論文作者將證明送入電腦的
證明檢查器，確認了它的可靠性。
解決了凱勒猜想後，Heule 的下一個目標是用電腦證明數學裡「最簡單的不可能問題」—
— 3n+1 猜想，去年陶哲軒已經「幾乎」解決了這個問題，現在可能只差一步之遙了。
5.完整新聞連結 (或短網址):
※ 當新聞連結過長時，需提供短網址方便網友點擊
https://bit.ly/32XdSkZ
【七維空間是否成立？】數學家集結 40 台電腦算力，半小時破解困擾 90 年的凱勒猜想難題 | TechOrange
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【我們為什麼挑選這篇文章】德國數學家 Ott-Heinrich Keller 於 90 年前提出了所謂的「凱勒猜想」，這是一個用相同瓷磚覆蓋空間的問題。他對每個維度的空間做出論斷：在 n 維空間裡，用[...] ...
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6.備註:
※ 一個人一天只能張貼一則新聞，被刪或自刪也算額度內，超貼者水桶，請注意
※ 備註請勿張貼三日內新聞(包含連結、標題等)
嗯嗯，跟我想的一樣。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.90.228 (臺灣)
※ 文章代碼(AID): #1VKSlQ1K (Gossiping)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1599196122.A.054.html
※ 編輯: Glamsight (140.112.90.228 臺灣), 09/04/2020 13:09:14
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→ : 嗯 我也是這麼認為1F 09/04 13:09
推 : 我去年就想出來了，只是筆記本空間不夠寫不下證明過程2F 09/04 13:09
推 : 估狗:我用一臺十秒就夠了3F 09/04 13:09
→ : 關於這個 我想到一個絕妙的證明方法 可惜推文太短寫不下4F 09/04 13:11
推 : 快推 免得被說不懂5F 09/04 13:11
推 : 跟我想的一樣6F 09/04 13:12
噓 : 所以你要問甚麼卦?7F 09/04 13:12
推 : 七樓已經解出來了。準備領諾貝爾獎8F 09/04 13:12
推 : 跟我自己算的 一樣9F 09/04 13:13
推 : 跟我想的一樣10F 09/04 13:13
噓 : END11F 09/04 13:13
推 : 嗯 謝謝數學家們幫我驗算12F 09/04 13:13
推 : 7維是什麼鬼 時間上面還有其他緯度？13F 09/04 13:14
推 : 先推 和我想的一樣14F 09/04 13:14
推 : 之前我就快算出來。只是硬碟裝不下就沒公開給大家15F 09/04 13:15
推 : 我記得目前假設到了11維度16F 09/04 13:17
推 : 果然 跟我想的不一樣17F 09/04 13:17
→ : 嗯嗯 跟我想的標題不一樣18F 09/04 13:18
→ : 1.時間不是空間維度 2.這是數學公式上的維度 不是物19F 09/04 13:19
推 : 我找一下大學暑假無聊的時候自己推導的筆記本20F 09/04 13:19
→ : 理空間維度21F 09/04 13:19
→ : 可以先講講啥麼是五維空間好嘛?22F 09/04 13:19
推 : 坐等老高解說23F 09/04 13:21
推 : 光看標題就知道結果了 EZ24F 09/04 13:22
噓 : 媒體來源都寫錯25F 09/04 13:22
推 : 嗯嗯跟我手算的一樣26F 09/04 13:22
推 : 跟我想的差不多~27F 09/04 13:22
推 : 這個問題我在5年前就想出來了，只是我太忙沒寫出來而已28F 09/04 13:24
推 : 不明覺厲29F 09/04 13:25
推 : 嗯嗯 我也這麼認為30F 09/04 13:26
→ : 11維度 好像是超弦理論推的31F 09/04 13:27
推 : 我先去吐一下32F 09/04 13:27
推 : 這麼高次元的存在33F 09/04 13:27
推 : 我還是去看老高好了34F 09/04 13:29
→ : 嗯嗯，我在看諾蘭片的時候就知道了35F 09/04 13:30
推 : 我國小玩積木有想過類似的 問老師他也不懂想說就算了36F 09/04 13:31
→ : 靠杯完全看不懂37F 09/04 13:31
推 : 我居然仔細的看完了38F 09/04 13:32
推 : 我早知道解開 覺得沒什麼可 訴大家的必要39F 09/04 13:32
推 : 我不是看不懂 只是要再想一下40F 09/04 13:33
→ : 吃飽太閒 理組就不能多讀點文學充實自己的內涵嗎？每次跟41F 09/04 13:34
→ : 理組人聊天都覺得用字水平很差
→ : 理組人聊天都覺得用字水平很差
推 : 幹這篇到底在公三小www43F 09/04 13:34
推 : 喔喔 懂了44F 09/04 13:35
推 : 喔喔 就宇宙魔方啊 電影演過45F 09/04 13:35
推 : 跟我阿嬤想的一樣46F 09/04 13:37
推 : 只會線代 看不懂QQ47F 09/04 13:38
推 : 那個已經沒用了48F 09/04 13:40
推 : 阿發狗: 笑死 沃三分鐘就算完了49F 09/04 13:41
→ : 雖然他很努力地解釋XD 但是我不想懂R50F 09/04 13:42
推 : 昨天吃飯有想一下，但沒空驗證，結果一樣51F 09/04 13:42
推 : 恩恩 當初心算也是這個結果 不過太麻煩沒寫下來52F 09/04 13:42
推 : 握擦53F 09/04 13:43
推 : 詳細淺顯的解說 呃 跨某54F 09/04 13:43
推 : 哦哦哦，原來是這樣啊…55F 09/04 13:45
推 : 雖然是中文 但我什麼都沒看懂56F 09/04 13:45
推 : 現在越來越越多數學證明要靠電腦了，這吧從圖論開始的,57F 09/04 13:47
→ : 沒有很稀奇，只是最近越來越成熟了
→ : 沒有很稀奇，只是最近越來越成熟了
推 : 我之前放github沒公開而已==59F 09/04 13:47
推 : 嗯嗯 可惜我D槽已經裝不下60F 09/04 13:48
推 : 身為文組 結果連別人想表達的意思都沒辦法適度理解 那可61F 09/04 13:48
→ : 能代表這個人讀再多文學也充實不了自己的內涵囉 畢竟有洞
→ : 的東西在怎麼充實也會漏光光 :'(
→ : 能代表這個人讀再多文學也充實不了自己的內涵囉 畢竟有洞
→ : 的東西在怎麼充實也會漏光光 :'(
推 : 推一下，很有趣64F 09/04 13:48
推 : 看不懂65F 09/04 13:48
推 : 嗯嗯，我也是這麼想的66F 09/04 13:48
推 : 喔~ 原來是這樣啊 恩亨67F 09/04 13:49
推 : 好 我看不懂68F 09/04 13:49
推 : 磁磚師傅：蛤？69F 09/04 13:55
推 : 恩...恩 不懂Orz70F 09/04 13:57
推 : 沒星應該是大家都看不懂==71F 09/04 14:01
推 : 不懂72F 09/04 14:02
推 : 黑人問號.jpg73F 09/04 14:06
推 : 嗯嗯 看不懂 先推假裝我看得懂74F 09/04 14:09
推 : 是可以啦，但我覺得不夠漂亮75F 09/04 14:12
推 : 去查才知道X維空間是什麼意思 太抽象啦 等大神解答76F 09/04 14:13
推 : 跟我想的差不多77F 09/04 14:13
噓 : 我想這是一條很冷門無聊的猜想78F 09/04 14:13
推 : 寫這篇的人都不會有自己寫了三小的感覺嗎？79F 09/04 14:17
噓 : 沒人在乎啦80F 09/04 14:17
推 : 幹！可不可以講人話啊81F 09/04 14:21
推 : 這個猜想究竟有何實質意義。82F 09/04 14:22
推 : 這個論點其實有一個瑕疵 只是講了大家也不懂我就不說了83F 09/04 14:26
推 : 我剛驗算過了，沒錯84F 09/04 14:27
推 : 差不多是這個意思啦85F 09/04 14:27
推 : 用偷吃步排除法 不可取86F 09/04 14:29
→ : end87F 09/04 14:30
推 : 媽的200GB…這證明是多複雜88F 09/04 14:31
推 : 我剛會說話的時候就跟我爸媽說了 他們不信89F 09/04 14:34
推 : 啥90F 09/04 14:38
推 : 我看不懂 我不裝懂91F 09/04 14:38
推 : 嗯嗯跟我想的差不多92F 09/04 14:41
推 : 嗯嗯 我兩個月前就是這樣想的93F 09/04 14:41
推 : 我也是這麼覺得94F 09/04 14:43
推 : 我也曾試圖暴力解開 只是我的電腦還在算95F 09/04 14:43
推 : 跟我想的一樣96F 09/04 14:46
推 : 跟我想的一樣97F 09/04 14:48
推 : 何時可以暴力證明陰間的存在98F 09/04 14:49
推 : 嗯嗯 我也這麼覺得99F 09/04 14:49
推 : 看暈，專業推，竟然沒爆100F 09/04 14:51
推 : 說啥小101F 09/04 14:53
推 : 跟我想的一樣102F 09/04 14:55
推 : 嗯嗯看不懂103F 09/04 14:56
推 : 總之老高說的就是我的想法104F 09/04 14:57
推 : 這篇好認真喔 給推105F 09/04 14:57
推 : 跟我想的一樣106F 09/04 14:57
推 : 猜想很重要？8維以上就錯了還需要證明七維？107F 09/04 14:59
推 : 十幾年前就大概知道了，只可惜當時硬碟容量不夠，窮學108F 09/04 15:16
→ : 生買不起
→ : 生買不起
推 : 我先前提出的論調跟這個差不多110F 09/04 15:20
推 : 現代數學沒有不會寫程式的吧？111F 09/04 15:21
推 : 跟我想得一樣112F 09/04 15:23
推 : 真的有這麼多人懂喔?這麼多數學系的?113F 09/04 15:23
推 : 求翻譯114F 09/04 15:33
推 : 公殺小啦115F 09/04 15:36
→ : 跟我想法完全一樣啊== 我五歲就知道了116F 09/04 15:37
推 : 這個看法我早在五年前就想提出了，沒想到被捷足先登117F 09/04 15:39
推 : 學過離散就大概看的懂名詞 ㄏㄏ 但是還是看不懂整篇118F 09/04 15:40
推 : 推文追蹤119F 09/04 15:42
推 : 可以說中文嗎120F 09/04 15:44
推 : 嗯嗯 跟我想的一樣121F 09/04 16:21
推 : ?___?122F 09/04 16:21
推 : 我前幾天算完還沒發表 被他們搶先一步123F 09/04 16:21
推 : 嗯嗯 我也這麼想的124F 09/04 16:28
推 : 嗯嗯 跟我想得一樣125F 09/04 16:30
推 : 噢...126F 09/04 16:31
推 : 好有趣，推127F 09/04 16:36
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(￣︶￣)ｂ clisan, wlcyc, jkyoe, darkrise1980, JosephC0227, j1992624, klin1 共 7 個人 說讚！
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