http://www.phy.ncu.edu.tw/dcc/History/SpRelat.htm

DCC(1999/1/20,2002/5/5rev.)

──如何從牛頓時空轉變為相對論之時空，如何從牛頓力學轉變為相對論力學

──如何以數學符號表達物理觀念，協助推理的一個(理論物理)例子

 

物理中原理、定律皆是推論的起點。基於觀測者為定律，較具體；

原理則是思考的結果，比較抽象而廣泛。在近代物理中，這種稱謂不如古典物理中嚴格。

常用到兩個「原理」（有時並不明說）：

(a)
     
對稱性原理(Principle

(b)
     
相應原理(Correspondence

 

【1】   
狹義相對性原理(The
Principle of Special Relativity)：

牛頓運動第一定律是質量觀念的來源，但「靜者恆靜，動者恆動」是什麼意思？

狹義相對性原理：對觀測而言，所有的慣性參考架構皆為同等的。

 

【2】   
光速恆定原理(The
Principle of Constancy of the Speed of Light):

 

【3】   
伽里略轉換式(Galilean
Transformation)：

如果有兩個不同的慣性參考架構，

(1)

逆轉換        
t=t’

x=x’+ut’

此為伽里略轉換式。其中我們為簡化公式，設

(i)

伽里略轉換式符合相對性原理

etc.)

v_x’=v_x-u,           
v_y’=v_y,               v_z’=v_z.

\v’²=(
v_x’²+ v_y’² +v_z’²)=
( v_x²+ v_y² +v_z²)-2

(3)

除非-2

 

【4】   
洛仁子轉換式(Lorentz
Transformation)：

符合以上兩原理的轉換式為洛仁子轉換式(仍用上述(i)(ii)之簡化設定)
。

令bºu/c,

ct’=
g 
[(ct) -

ct = g 
[(ct’) +bx’]

x’ =

g 
[b(ct’)+
x’]

y’=

           y = y’

z’=

If
b²<<1,
then, g
» 

If

then, g 
= 5/4,               If
then g®¥

a.
      

b.      

c.

d.      

e.

ct’= a(ct) - bx

 


   愛因斯坦的靈感：相對論小史

   量子物理與相對論同為近代物理兩大支柱，不過前者為集體創作，後者卻幾
   乎是愛因斯坦一人的心血。單憑這一點，若要票選本世紀最具代表性的物理
   大師，愛因斯坦就當之無愧。

   弔詭的是，雖然愛氏是個家喻戶曉的傳奇人物，人人知道他可以和相對論劃
   上等號，對於相對論稍有認識的人卻少得可憐。甚至大多數人都不知道相對
   論其實有兩種：「狹義相對論」（俗稱特殊相對論）與「廣義相對論」（俗
   稱一般相對論）。這並非由於相對論的物理意義或數學結構過分深奧，而是
   因為愛氏的光環過分刺眼，令大多數人只敢在遠處膜拜，而不敢貼近一探究
   竟。

   其實對一般人而言，要一窺相對論的堂奧並沒有想像中困難，只要把愛氏從
   神壇上請下來現身說法，就不難從他當年的靈感中領悟一二。

   ☆ 狹義相對論的靈感：苦思十載一朝頓悟

   自一八九五年起，十六歲的愛氏便開始認真思考一個問題：「假如我以光速
   跟隨一道光束飛行，我會看到哪些奇異景象？比方說，這道光束若是由一座
   時鐘反射出來，我應該看到一座靜止的鐘，也就是說在我眼中，那座鐘的時
   間是靜止的；可是在別人看來，同樣的鐘卻在滴答滴答走，這是不是矛盾呢
   ？」愛氏心中這個「臆想實驗」，已經埋下發明狹義相對論的種子。

   事實上，當時古典物理學殿堂已是山雨欲來風滿樓，有三個看似矛盾的現象
   孕育著革命的火種。矛盾一是實驗證明以太與地球竟然沒有相對運動；矛盾
   二是馬克士威方程組在加利略變換下竟然會變形；矛盾三是馬克士威方程組
   無法解釋電磁感應的「對稱性」（感應電流只取決於磁體與線圈的「相對運
   動」）。

   在新舊世紀之交，已有物理界前輩如菲次吉拉、洛倫茲、龐加萊等人提出各
   自的解決方案，多少修補了上述矛盾對物理殿堂的損害。然而那些都是在古
   典物理架構下的折衷理論，缺乏邏輯的完備性與體系的嚴密性。

   身為一位剛出道的物理學家，愛氏當然不會在這場盛會中缺席。不過在此要
   強調的是，雖然許多教科書都說是矛盾一刺激愛氏提出狹義相對論，可是根
   據鮮為人知的正史，矛盾三才是愛氏真正的出發點。

   一九○五年，愛氏對這類問題已經苦思十載，需要的只是臨門一腳，就能踢
   出一個劃時代的新理論。在與好友貝索（M.
   Besso）偶然的一場討論後，這個有如導火線的靈感終於浮現。愛氏突然體
   認到，解決問題的關鍵在於必須挑戰傳統的「絕對時間」與「同時性」這類
   概念；其實「絕對時間」並不存在，而時間與訊號速度（光速）之間有密不
   可分的關係。值得注意的是，這些領悟與上述那個臆想實驗遙相呼應。

   這個靈感替愛氏打通任督二脈，不出五個星期，他就寫好了狹義相對論的歷
   史性論文〈論運動物體的電動力學〉。在這篇論文中，他只用兩個公設作出
   發點：

   一、光速恆定：在任何慣性座標系中，不論光線源自靜止或運動的光源，光
   速一律是常數。

   二、相對性原理：物理定律在任何慣性座標系中都具有相同形式。

   同時愛氏特別指出，在他的理論中以太是多餘的，因為他的舞台是任何慣性
   座標系，無需特別假設一個絕對靜止的座標系。

   根據上述兩項公設，愛氏就導出了精確的「洛倫茲變換」，再利用這個變換
   導出長度收縮、時間膨脹、同時性的相對性，以及質量隨速度增加的公式和
   新的速度合成法則，由此形成一套嶄新的時空觀。

   這個理論後來訂名為狹義相對論，是因為它僅能涵蓋慣性座標系。至於如何
   推廣到非慣性座標系，愛氏一時之間也沒有概念，只好耐心等待下一個靈感
   。

   ☆ 廣義相對論的靈感：一生中最快樂的一個念頭

   在真實物理世界中，慣性座標系只是個理想狀況，例如重力場無所不在，而
   物體受重力作用就會做加速度運動。愛氏原先的構想，是直接推廣狹義相對
   論來涵蓋各種非慣性座標系。然而不久之後，他就得到一個令人沮喪的結論
   ：在狹義相對論的架構下，絕對不可能有完善的重力理論。

   愛氏只好另闢徯徑，試圖突破狹義相對論的框架，尋找一個更強而有力的架
   構。皇天不負苦心人，一九○七年某一天，他坐在瑞士專利局的辦公室裡，
   腦中突然閃出一個靈感：「一個在半空中墜落的人，完全感覺不到自己的重
   量，應該覺得自己好像置身於慣性座標系！」

   愛氏後來宣稱，這是他一生中最快樂的一個念頭，因為它成了廣義相對論的
   敲門磚。耐人尋味的是，它和那個以光速飛行的臆想實驗有異曲同工之妙：
   〔一個是以光速飛行，抵消了光速，因而看到一座靜止的時鐘；一個是在重
   力場中墜落，抵消了重力加速度，因而感覺不到任何重力。〕

   根據這個看似平淡無奇的想法，同年愛氏寫出第一篇有關廣義相對論的論文
   ，提出廣義相對論的兩個公設：

   一、等效原理：加速度造成的「重量感」與真正的重力效應一模一樣（實驗
   證據為慣性質量和重力質量的等價性）。

   二、廣義相對性原理（廣義協變性）：物理定律在任何座標系中都具有相同
   形式。

   同樣是從兩個公設出發，愛氏鑽研廣義相對論卻經歷了一段曲折得多的路程
   。其中最主要的困難，在於當時物理學界所熟知的數學工具似乎都搔不到癢
   處。

   一九一二年，愛氏終於體認到傳統的幾何學不適用於重力場，遂開始在老同
   學格羅斯曼的幫助下學習「黎曼幾何」與「張量分析」。掌握這些新利器之
   後，研究工作總算撥雲見日，終於逐步建立起廣義相對論的完備體系：以四
   維時空的彎曲幾何結構表現重力場。牛頓的重力理論自此功成身退，成了愛
   氏理論中的一個特例。

   〔參考資料〕
   《中國大百科全書：物理學》， 中國大百科全書出版社
   《物理學史》，郭奕玲、沈慧君合著， 清華大學出版社
   《愛因斯坦》(上)，D. Brian著，鄧德祥譯，天下遠見出版公司
   〈巨人肩上的巨人〉，葉李華著，科學月刊1999年十月號

   ***********************************************

   表一：相對論英雄榜（出場序）

   加利略       Galileo Galilei (1564-1642)
   牛頓 Isaac Newton (1642-1727)
   法拉第       Michael Faraday (1791-1867)
   黎曼 Bernhard Riemann (1826-1866)
   馬克士威     James Maxwell (1831-1879)
   莫雷 Edward Morley (1838-1923)
   厄特弗       Baron von Eo:tvo:s (1848-1919)
   菲次吉拉     George Fitzgerald (1851-1901)
   邁克生       Albert Michelson (1852-1931)
   洛倫茲       Hendrik Lorentz (1853-1928)
   龐加萊       Henri Poincar'e (1854-1912)
   希伯特       David Hilbert (1862-1943)
   閔可夫斯基   Hermann Minkowski (1864-1909)
   格羅斯曼     Marcel Grossmann (1878-1936)
   愛因斯坦     Albert Einstein (1879-1955)
   愛丁頓       Arthur Eddington (1882-1944)
   ***********************************************

   表二：相對論大事記


   1831：法拉第發表「電磁感應定律」

   1864：馬克士威發表「馬克士威方程組」

   1887：邁克生－莫雷干涉實驗（證實地球與以太沒有相對運動）

   1889：厄特弗扭秤實驗（證實慣性質量與重力質量幾乎一致）

   1889：菲次吉拉提出「長度收縮」公式 1904：龐加萊提出「相對性原理」

   1904：洛倫茲發表「洛倫茲變換」的二階近似式（精確的「洛倫茲變換」由
   愛氏於次年導出）

   1905：愛氏於《物理學年報9月號》發表〈論運動物體的電動力學〉提出狹
   義相對論

   1905：愛氏於《物理學年報11月號》發表〈物體之慣性與其所含之能量有關
   嗎？〉預測「質能關係」E=mc^2

   1907：愛氏提出「等效原理」為廣義相對論鋪路

   1907：閔可夫斯基提出「四維時空連續體」數學架構

   1913：愛氏與格羅斯曼聯合發表〈廣義相對論綱要與重力理論〉

   1915：愛氏發表數篇廣義相對論相關論文

   1915：希伯特以不同方法，與愛氏幾乎同時導出廣義相對論的重力場方程式

   1916：愛氏發表〈廣義相對論之基礎〉總結廣義相對論之研究

   1917：愛氏根據廣義相對論提出靜態宇宙模型（後證明有誤，正確模型於五
   年後陸續由他人提出）

   1919：愛丁頓以天文攝影為廣義相對論提供重要佐證（星光經過太陽附近確
   實會發生偏折）

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   表三：相對論詞彙

   ‧牛頓重力定律（Newton's law of gravity）：
   亦稱「萬有引力定律」。認為一切具有質量的物體都會互相吸引，吸引力正
   比於兩者質量的乘積，反比於兩者距離的平方，比例常數稱為（牛頓）重力
   常數，通常記為Ｇ。

   ‧以太（ether;aether）：
   一種早已被實驗否定的假想物質。十九世紀的物理學家假設電磁波也需要介
   質，這種介質便是所謂的以太。根據理論，以太假如真正存在，則應不具質
   量、充斥宇宙各個角落，而且在宇宙中絕對靜止。

   ‧加利略變換（Galilean transformation）：
   古典力學中兩個慣性座標系之間的時空座標關係式。其中只有空間座標發生
   轉換，兩者的時間座標毫無差異，因為兩者皆用絕對時間。

   ‧光速（speed of light）：
   電磁波或光子在真空中行進的固定速率，通常記為ｃ，是基本物理常數之一
   。如今光速「定」為每秒恰好二九九，七九二，四五八公尺，公尺的長度則
   根據上述光速來定義。

   ‧同時性（simultaneity）：
   某觀測者若測得兩個事件同時發生，則稱這兩個事件「相對於該觀測者」具
   有同時性。不過對於其他觀測者而言，這兩個事件卻不一定同時，因此「同
   時」並非絕對的物理概念。

   ‧協變（covariant）：
   一個物理定律以某方程式表示時，若在不同的座標系中，該方程式的形式一
   律不變，則稱該方程式為協變。一般而言，同一物理定律可用不同形式的方
   程式表示，這些方程式有些為協變，有些則否。

   ‧長度收縮：
   即「菲次吉拉收縮」。

   ‧洛倫茲變換（Lorentz transformation）：
   兩個慣性座標系之間的時空座標關係式，由兩座標系的相對速度決定。在這
   個轉換式中，空間座標與時間座標皆進行轉換。洛倫茲變換為狹義相對論的
   數學基礎，由洛倫茲最先以數學方法導出近似式，其精確形式與物理意義則
   是愛因斯坦的貢獻。兩座標系之相對速度若比光速小很多，則洛倫茲變換就
   近似於加利略變換。

   ‧重力（gravity;gravitation）：
   俗稱萬有引力，是自然界四種基本作用力中最微弱的一種。任何具有質量或
   等效質量的粒子都會產生重力，因此任何兩個物體之間皆存在有重力作用。

   ‧重力質量（gravitational mass）：
   在古典物理學中，質量具有兩種表徵，其中牛頓重力定律所描述之質量稱為
   「重力質量」。

   ‧重力場方程式（gravitational field equations）：
   廣義相對論的基本方程式，是一組具有十個分量的張量方程式，描述物質與
   能量的存在如何使時空結構彎曲，重力則隱含在彎曲的時空中。牛頓重力定
   律是這組方程式在特例下的近似。

   ‧時空連續體（space-time continuum）：
   時間與空間共同組成的四維時空結構，由閔可夫斯基最先提出。在平直的四
   維時空連續體中，「距離」s的定義為s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2，其中x、y
   、z為空間座標，t為時間座標，c為真空光速。由此即可看出，它與四維歐
   氏空間最大的不同，在於第四個座標在「四維畢氏定理」中的地位。彎曲的
   四維時空連續體可視為前者的推廣，正如彎曲的Ｎ維空間是歐氏Ｎ維空間的
   推廣。

   ‧時間膨脹（time dilation）：
   根據狹義相對論中的洛倫茲變換，在靜止的觀測者看來，運動中的時鐘走得
   較慢，意即觀測者本身的時間會發生膨脹。膨脹因子為(1-v^2/c^2)^-0.5，
   其中v為時鐘相對於靜止觀測者的速度，c為真空光速。

   ‧狹義相對論（special theory of relativity）：
   愛因斯坦於一九○五年所發表的理論。它根據兩項公設，導出度量時間與空
   間的正確觀念。對速率接近光速的物體，牛頓力學的描述有重大誤差，狹義
   相對論則有正確的描述。

   ‧馬克士威方程組（Maxwell's equations）：
   能夠完全描述電磁現象的一組四個（微分）方程式，由馬克士威首先整理出
   來。包括電的高斯定律（庫侖定律為其特例）、磁的高斯定律、法拉第電磁
   感應定律，以及馬克士威修正過的安培定律。

   ‧張量（tensor）：一種數學量，其特點為在座標變換時遵循一定的規律。
   根據變換規律的不同，可將張量分為零階、一階、二階……其中零階張量即
   純量（例如溫度），一階張量即向量（例如力）。任何物理量皆可歸為某階
   張量，例如電場與磁場同為某二階張量的分量。

   ‧等效原理（principle of equivalence）：
   廣義相對論的基本假設。認為置身於等加速座標系中的觀測者，無法以任何
   物理方法分辨究竟是本身在加速抑或置身某重力場中。

   ‧菲次吉拉收縮（Fitzgerald contraction）：
   根據狹義相對論中的洛倫茲變換，在靜止的觀測者看來，運動中的物體其長
   度會沿運動方向收縮。收縮因子為(1-v^2/c^2)^0.5，其中v為物體相對於靜
   止觀測者的速度，c為真空光速。由此可見物體運動愈快，產生的菲氏收縮
   愈多，但由於收縮量很小，因此只有在物體接近光速時才較明顯。

   ‧黑洞（black hole）：
   廣義相對論預測的一種特殊天體，其特徵為具有封閉的「視界」，也就是黑
   洞的邊界。外界的物質或輻射可以進入這個視界，但是若不考慮量子效應，
   視界內的物質與輻射不可能跑出來。就天文學的角度而言，黑洞是某些恆星
   演化的終站，如今幾乎已能確定黑洞的存在。

   ‧電磁感應（electromagnetic induction）：
   變動的磁場產生電場的現象。一八三一年，法拉第首先提出電磁感應的數個
   例子，例如磁體與線圈的相對運動會在線圈中感應出電流。

   ‧慣性座標系（慣性參照系）（inertial frame）：
   為標定事件發生的時刻與位置而選取的時間座標與空間座標稱為（參考）座
   標系。若在某一座標系中，不受外力的物體必保持靜止或做等速度運動，此
   座標系就屬於慣性座標系。

   ‧慣性質量（inertial mass）：
   在古典物理學中，質量具有兩種表徵，其中牛頓第二運動定律（作用力正比
   於質量及加速度）所描述之質量稱為「慣性質量」。

   ‧廣義相對論（general theory of relativity）：
   愛因斯坦於一九一五、六年間所發表的理論，將狹義相對論的慣性座標系推
   廣到非慣性座標系（例如旋轉座標系、重力場中的座標系）。主要內容是將
   重力解釋成彎曲時空中的幾何結構，從而導出比牛頓重力定律更精確的重力
   理論。廣義相對論已通過數項驗證，如今是天體物理學與宇宙學的基本工具
   。

   ‧質能關係（energy-mass relation）：
   即愛因斯坦導出的著名公式E=mc^2（能量等於質量乘以光速的平方），指出
   能量與質量實為一體的兩面。

   ‧質量（mass）：
   粒子攜帶的一種基本物理量，是重力場的發射源（由牛頓重力定律或廣義相
   對論描述），亦是慣性的來源（由牛頓第二運動定律描述）。

   ‧黎曼幾何（Riemannian geometry）：
   黎曼將曲面微分幾何學推廣至Ｎ維流形而發展出的幾何學。其中Ｎ維流形擁
   有一個度量「無限小長度平方」的二次式（可視為畢氏定理的推廣），由此
   即可定義長度、角度、曲率等幾何量，進而研究這個Ｎ維流形的各種性質，
   而不需要將它嵌入（Ｎ＋１）維空間中。

   ‧靜質量（rest mass）：
   亦稱靜止質量。對靜止於某座標系的質點而言，在此座標系中測得的質量稱
   為其靜質量。根據狹義相對論，運動中質點的質量會隨著速度增加。

   ‧臆想實驗（Gedanken experiment）：
   亦稱想像實驗。為解釋或檢驗某一理論，理論物理學家常根據現有知識設計
   一些紙上實驗，作為具體的論證對象，此即所謂臆想實驗。臆想實驗之目的
   不在求得結果，而在檢驗一個理論的正誤。




http://sf.nctu.edu.tw/yeh/yeh0007.htm