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※ 引述《DartMonkey (飛鏢猴子)》之銘言：
: http://www.ettoday.net/news/20120417/39673.htm
: 物理學得好可以做出核彈，或者更實際的，逃過一張罰單！美國一名物理學家開車等紅燈
: 時不慎超出停止線，被開了一張400美元(約台幣12000元)的罰單。他非常不服氣，向法院
: 提出整整4頁公式，證明自己確實及時停車。最後他成功說服了法官！
: 加州大學聖地牙哥分校克里歐克夫(Dmirti Krioukov)表示，我藉由角度及直線運動的
: 計算公式，證明開單的交警看錯了。當時他的位置與汽車移動軌跡垂直且有一段距離，當
: 車輛停止時，由於角度關係，他會以為車輛仍在移動。」
: ▼物理學家提出公式，向法官證明自己沒有違規。(圖／取自網路)
: 克里歐克夫還用一堆圖表及算式加以佐證，並導出結論指出，「交通警察認為我沒有停車
: ，但這項觀察與事實不符，他其實是被錯覺誤導了。」
: 如果克里歐克夫可以再早一點停車，也許就不會有這項爭論。但無論法官看不看得懂這些
: 公式，或相不相信物理學家的論述，總之是放了他一馬。當媒體要求克里歐克夫發表他的
: 「另類諾貝爾獎」感言時，他只微笑說：「我真的有停車。」


大家好　十年前小妹也曾經夢想成為一位艦盤物理學家

看到好多鄉民在底下推看不懂　特別有感觸

連法官這種文組垃圾都能理解　鄉民為什麼不能？

http://arxiv.org/pdf/1204.0162v1.pdf



I　介紹

大家好　我是Dmitri Krioukov

不是Dmirti Krioukov　台灣記者連複製貼上都做不好嗎？



II　先從車速不變開始　(假如我沒有停車

首先讓我們回憶一點高中物理

一定看過x-t, v-t, a-t圖吧

於時間t 的位置    x(t)
於時間t 的速度    v(t)
於時間t 的加速度　a(t)

往下推要微分　往上推要積分



馬上來練習一下

用角度的變化來做例子

於時間t 的角度用α(t)表示

那麼對時間t微分

         dα(t)
ω(t) = --------   即得到於時間t的
           dt           角速度ω(t)



接著我們想像一下秋明的８６

遠遠朝我們駛來　本來看起來不是很快

但是等接近道我們正前方的時候　刷得一下就閃過去

只差沒扭到脖子　剩下遠處風騷搖曳的車尾燈


這個現象是作者的主要論點

車子自身的行進速度　與觀察者賦予的角速度　並不一制

讓我們一起建立個模型來

    於時間t的
       車速 = v(t)
          車          停
   --------\--->------|-------
            \         |
             \        |
              \       |
               \      |
                \     | r0
                 \    |
                  \   |
為了能夠馬上       \α|
  凸顯出            \ |
  ω(t)與v(t)        \|
先令v(t)=v0           鴿

也就是車速於任何時間都不變

以固定的v0朝右邊駛去

直到t=t0的時候　剛好開到中間

但是又為了方便起見　請容許我們對時間做個平移

設t=0為車車開到中間的時間點

設定了速度跟時間　因為是等速度運動的關係

距離可以簡單用時間乘以速度求得 x(t) = t*v0

讓我們再看一次這個三角型

       t*v0
    \-------|　　　　　有沒有很有感覺
     \      |
       \    | r0       馬上回想到高一三角函數
        \   |
         \α|                   t*v0
           \|          tanα = ------
                                 r0
差點忘了做這麼多要幹嘛

我們要找角速度ω(t)
                           dα(t)
上面練習過　角速度ω(t) = --------
                             dt             t*v0
找α(t)　必須用到反三角函數　α(t) = arctan ----
                                             r0
看到反三角函數　還要做微分　頭都暈了

但其實arctan是一個非常好的函數

大一下微積分　從三角代換法就發現剛剛好

       dx           sex^2θ
int ------- = int ---------- dθ = int dθ = arctanθ + C
     1+x^2         1^2+tanθ

兩邊做微分　得到我們要的反三角函數微分值
                                            t*v0
來一發試試看吧                            d ----
                             t*v0            r0
                    d arctan ----         -------
         dα(t)               r0             dt             v0/r0
ω(t) = -------- = --------------- = --------------- = -----------------
           dt             dt             / t*v0 \^2    1 + (v0/t0)^2*t^2
                                      1+ | ---- |
                                         \  r0  /
密密麻麻　又分數又平方的

但其實整個 (v0/r0)都是我們事先給好的定數　令(v0/r0)=k

             k
ω(t) = ----------  當中只有時間t是變數　這樣就不難鍵盤sketch一下圖型了
        1 + (kt)^2
　　　　　　　　          　　t離原點越遠 ω(t)越小

事實上　當t=0 也就是x(0)=0*v0=0　當車車以等速度經過鴿子正前方的時候

ω(0) = k/1 = k 正好是這個函數的最大值　脖子要扭得最快

http://tinyurl.com/7glv4jo　(車速v0=10m=s, 距離r0=10m

前面我們說到８６的車尾燈遠慢近快　那是感覺　是觀察

上法院記得要像這樣寫出數學模型才能避免自由心證
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　真眼說瞎話


III　加速度不變　(假如我有停車

剛剛固定車速v(t)=v0

這節我們延用上面的數學模型　但是改成固定加速度a(t)=a0

這裡的加速度是代表踩煞車　並且剛好停在

                         dα(t)
重新找一次角速度ω(t) = -------- 吧
                           dt
要知道角速度ω(t)　必須先知道角度α(t)

要知道角度α(t)　必須先找到車車的對時間t位移的函數 x(t)
                                           x(t)
因為　還記得上面的三角函數吧？　tanα(t) = ---
                                            r0
       x(t) 現在不等速了                       x(t)
    \-------|　　　　　　　才能 α(t) = arctan ---
     \      |                                   r0
       \    | r0
        \   |　　　這樣一路走下來　只要知道x(t)
         \α|
           \|　　　就可以比照上面的方法寫出有停車版的角速度模型


還記得一開頭提到加速度, 速度, 距離之間的關係嗎？

讓我們以a(t)=a0　走一趟流成　順便取得x(t)

v(t) = int a(t)dt = int a0dt = t*a0

這裡沒有補常數項C1 v(0) = 0*a0+C1
因為當車子停在中間的時候速度是0　得到C1=0
                                   1
x(t) = int v(t)dt = int t*a0 dt = ---a0 t^2
                                   2
一樣的原因C2=0　停車與啟動的加速度方向相反
                              a0, if t<0
a(t)真的寫起來應該是 a(t) =    0, if t=0
                             -a0, if t>0
如原文中用 decceleration/acceleration表示
但是算是中並沒有特別寫出　只在函數圖型中比較

                        1
好啦　現在我們有x(t) = ---a0 t^2
                        2
                x(t)         (a0/2)t^2
α(t) = arctan ---- = arctan ---------
                r0               r0        (a0/2)t^2
                                         d ---------
                          (a0/2)t^2           r0
                 d arctan ---------      ------------
        dα(t)               r0               dt               (a0/r0)t
ω(t) = ------ = ----------------- = ------------------ = -----------------
          dt             dt              /(a0/2)t^2 \^2       (a0/r0)^2
                                     1+ | --------- |     1 + --------- t^4
                                         \    r0   /              4

新版的角速度函數　最大的不同處是分子也有一個t

使得t靠近原點的時候　原本預測要達極大值的時候　會突然縮小回零

http://tinyurl.com/c378yrx　(a0=1m/s^2, 3m/s^2, 10m/s^2, r0=10

這個真的不知道怎麼用鍵盤畫　所以還是直接貼新聞的圖

在這裡途裡面有三條線　固定鴿子與十字路口的直線距離是十公尺後

分別用小, 中, 大　三種不同的加速度值來比較


IV　你看不到我你看不到我你看不到我　(魯洨


這一章可以說是最精華的一段了

科學家的奸詐手段全部在這裡

策略就是前面先用看似很複雜的計算來混淆視聽

等你看得暈頭轉向　到這裡就唬什麼是什麼了


接續上一章講圖型　的確加速度越大　有停沒停的角速度變化整體看起來越像

只差中間一條細長的壕溝　試想眼睛盯著車子看

假如有停車的話　會在什麼時候遇到第一個波峰而驟然減速呢？

回到大一上微積分　這是求極值很平常的技巧

令該函數的導數函數為零　然後去找在哪個位置為零

dω(t')
------- = 0　經過一翻微分計算... = =
   dt

dω(t')              1-(3/4)(a0/r0)^2 t'^4
------- = 4(a0/r0) ------------------------
   dt              (1+(1/4)(a0/r0)^2 t'^4)^2

一個分數要等於零　要馬分母超大　要馬分子等於零

(a0/r0)是已經挑好的定數　分母又不能變超大

只好讓分子等於零來解t'

0 = 1-(3/4)(a0/r0)^2 t'^4

(3/4)(a0/r0)^2 t'^4 = 1

t'^4 = (4/3)(r0/a0)^2

t'= (4/3)^(1/4) (r0/a0)^(1/2)

r0是固定的距離 10m

a0是固定的加速度　越大越好　等下再決定


再來要有一台車擋住鴿子的視線

多大的車？　不知道　反正越大越好

那就來台長l2的 Subaru Outback

只於我的車麻～～　越小越好 長l1的 Toyota Yaris

誰能比我小　吼吼吼


要擋住　從哪裡擋住？　當越多越好囉

subaru放中間　一起停止　一起啟動　正好卡掉停車線的所有視線

       l1=3.81m
   ________________
   |              |
---|              |---------------------|--位置從xp=l1+l2開始部分擋住
   |   yari       |
   |______________|                     |　位置從xf=l2-l2開始完全擋住
         \                l2=4.8m
          \        ______________________　說好要算視角的　但是三角函數麻煩
           \      |                     |　還是直接線性加減好了
             \    |                     |
              \   |                     |　加速度也有影響　其值越大圖型越尖
               \  |         subaru      |
                \ |_____________________|　角速度的ω-t圖越像沒停的的圖
      鍵盤擋視線  \
                                        |　放在一起比較真的如此
                    \　　　　　　　　　　　http://tinyurl.com/7cwehkk
                                        |
                      \　　　　　　　　　　所以那天我剛好流鼻水
                                        |　
                        \　　　　　　　　　踩剎車時猛打了個噴嚏
 挑好一切對我有利的數據後               |
                          \　　　　　　　　就代緊急煞車的加速度　10m/s^2
 把xp, xf, a0                           |
             1               \　　　　　　 確定了a0 可以得到y'=1.07
 帶入 x(t) = -a0 t^2                    |
             2                  \
 視線求被擋住的確切時間                 |
                                   \
 雖然從圖知道這裡算的根本沒考慮視角     |
                                      \
 who cares                             \|
                                        鴿
 t^2 = 2x(t)/a0
 t = sqrt(2x(t)/a0)
 let x(t) = xp, tp=1.31　　別忘了這只是單邊
 let x(t) = xf, tf=0.45　　Subaru也會往前開　兩倍後才是真正被擋住的時間

為什麼要求出這三個時間點呢？

假如　y' < tf

不管有沒有停車　在鴿子無論如何無法判斷

當然那是最理想狀態　再選車長, 選加速度, 選位置的時候

已經用盡各種方法來增大tf 縮小y' 連緊急煞車的參數都用上了

可惜還是 tf < y'

物理學家不愧是物理學家　發文前偷打草稿知道Subaru無法完全擋住

於是我們再來硬拗出一個tp值來

很幸運地得到 tf < y' < tp

意思是說　好啦　其實有沒有停車還是會被鍵盤角速度發現

但是注意喔　就算你有機會發現

那也是在車車剩下屁股的那最後半秒之內


所以如果開罰單的根據只是”看到”

那麼更有可能是鴿子的線性腦自己在兩個高點間插了一條線

如圖腦內埔完初沒有停車的 |t| < y'這一段

紅色虛線 O's perception就這樣連～～～起來 = =
http://tinyurl.com/6opp8bn

畢竟　鴿子無攜帶任何測量設備　光憑肉眼難以察覺那細微的變化



V　結論

罰錢北送啦　幹


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沒什麼高深的學問
　　　　　　　　　只是想讓多一點人了解這傢伙在幹嘛而已

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.240.220.133

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