Re: [問卦] 如何證明1+1=2 (結論更新) - PttHot板

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※ 本文轉寄自 ptt.cc 更新時間: 2015-09-19 04:30:35

看板 Gossiping

作者 co766543 (天厭)
標題 Re: [問卦] 如何證明1+1=2
時間 Tue Sep 15 00:50:41 2015

注意！！文長！！

大家好，小弟數學系魯蛇

數學看起來是一門既深澳又沒三小屁用的學問

每個數學系的人都會被問到：你出來是要當數學老師嗎？(幹！我不能去711打工逆？

所以藉著這次1+1=2的冷飯，順便讓大家能稍微了解一下數學系所學以及思路

所以當數學系的學生被問到1+1=2如何證明時，下面的步驟應該是數學系學生的起手式，
同時也是數學證明的基礎學問

------------------------------------分隔線------------------------------------

一、所謂1+1是在哪一種背景下的1+1？在這種背景下1+1的意義為何？

也就是說，你所謂的1+1是以自然數為背景的1+1，還是有理數、複數、整數等等(注1)

在不同的背景下，意義、答案、證明方法皆有不同

舉個例子：如果今天背景(A)只有兩個數 A=｛0、1｝，而A是一個體(field)

則1+1=0 (先去了解field的定義，再用反證法得證)

回頭看前文的一些敘述，包含1的下幾個元素(elements)或是提到的皮亞諾(Peano)公理或
是公設

這些敘述就是以正整數(or自然數)為背景

這個背景是可數的(countable)同時也是一個order set(簡單來說就是裡面任兩個元
素可以比大小)

那麼1+1的意義是 [比1大的"下個"(next)元素] 同時我們定義這個元素叫做2

特別強調一點是"下個"為何不寫成"下一個"，因為這些背景是可數的，當我們遇到有些集
合(set)是不可數的時候，"下一個"的意義變得很模糊，而"next"的概念不再存在(下面還
會講到這個)

而皮亞諾公設則是確保了2屬於正整數(or自然數) (此為結論)

講的白話一點，就是說我們在前幾行定義的那個元素2屬於我們正在探討的背景，也就是
正整數(or自然數)

在更白話就是 [2他真的存在耶] (撒花)

所以來點小結論：

1、 2是1的下個數字(1+1的意義，然後我們說"1+1"這個元素是2)

2、 2的確存在(2的確在我們討論的事實範圍內)

注1：
正整數：1 2 3 4……
自然數：正整數聯集0

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靠杯！！不是證明完了嗎？

當然還沒呀!你是瞧不起9.2還是覺得根號2不存在！

我們活在的這個世界還是存在著9.2呀!!(我的意思是有理數、無理數等等)

我們要正視9.2存在的問題(靠杯…歪了…)

我們自然所熟悉的是其實是實數(real number system)

無論高中、國中小數學的基礎大多都建立我們接下來要講的實數系

二、在實數的系統下，1+1=2怎麼證明？

我先公布答案：不用證明！！

原因是，實數具有［完備(completeness)性］，在這個性質下1+1=2是自然就成立的事情
！！

我們從上面的結論來做延伸

1、1+1在實數下的意義：

沒錯，又來了，1+1不就是1這個元素的"下個"元素嗎？

錯！如果2是1的下個元素的話，1.5哪去了？ 1.25呢？ 1.125呢?

實數是完全不同的系統，是不可數的，如同上面講的，"下個"的概念不見了

所以1+1到底是什麼？

前面幾篇文章也有提到所謂的"實數線"，所以來一條線

____________________________________________________________

這條叫做實數線

實數線上有個原點叫做0(或是我們說加法單位元素)

____________________________________________________________
↑
這裡是0

數學家說要1(乘法單位元素)，於是就有了1

_____________________________________________________________
↑ ↑
這裡是0 這裡是1

好！重點來了，"+1"是什麼？

就是1這個元素往後走"一定距離"的那個地方(點)，"+1"的"一定距離"就是［0到1中間的
距離］

_____________________________________________________________
↑ ↑ ↑
這裡是0 這裡是1 這裡是1+1

然後我們就把1+1的那個點叫做2

如此也會有1+0.5=1.5 1+0.25=1.25等等

現在1+1的概念有比較清楚了

所以下一個問題就是1+1，也就是2到底屬不屬於實數

2、1+1=2屬於實數嗎？

答案是1+1=2的確屬於實數

原因就在於實數具有［完備性］

也就是說，我只要有一堆數字越來越接近2，而且這堆數字都屬於實數的話，2也屬於實數
(此為結論)

之前上面的理論都沒證明，但是這個理論我會稍為敘述證明的思路

所以如何證明R(實數)具有完備性，證明如下：

1、(R,+,‧)是一種體(field)(裡面就包含了乘法、加法單位元素還有運算規則)

2、(R,+,‧,≦)是一種order field(如此一來實數可以比大小)

3、(R,｜．｜)是賦距空間(metric space) (這樣就有距離的概念了)

4、任一柯西數列在(R,｜．｜)的空間下收斂

5、上面那行收斂的那個數屬於(R,｜．｜)

這樣(R,｜．｜)便是完備的空間

另外有些人說我定義的實數跟他定義的實數或許不一樣呀！

最後還有一個定理就是只有實數是完備空間，也就是說如果我們定義出兩個看起來不一樣
的空間，但是都具有完備性的話，那兩個空間只是符號不一樣，意義跟運算方式都一樣。

以上這五點加上最後的定理要證明的話，大概就要花個十幾頁吧，而且我還沒寫中間要經

過兩個等價定理Least-upper-bound property跟Monotone sequence property

但是概念差不多是這樣

小結論：

1、 1+1的意義就是1加上［0到1之間的距離］的那個點，也就是2

2、 2的確是實數的一部分，因為實數具有完備性

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OK！只想看結論的看這裡

如果討論的背景是正整數(或是自然數)的話

1+1 就是 1的下一個數字，也就是2

因為有皮亞諾公設，2也屬於正整數(或是自然數)，所以1+1=2

如果討論的背景是實數

1+1 就是 1加上［0到1之間的距離］也就是那個叫做2的點

因為實數有完備性，所以2也屬於實數，所以1+1=2

以上的敘述就可以很方便的推定到2+1=3 3+1=4等等等

所以1+1=2定不是單純的定義，但也不是需要證明的東西

在種種公設、定理下，1+1=2比較像是一種必然性質

所以如果問：「1+1=2怎麼證明？」就代表數學跟你大概是無緣了

類似的問題到了數學系上的考試就會變成：試證實數系統具有完備性

在此希望「1+1=2怎麼證明？」這個問題就此打住

說真的，沒有任何數學系的人想要深究這個問題！沒有任何人！

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太多人誤會了

1+1=2這件事情"絕對不是定義"而已

定義這種東西大家都可以來玩，今天有人要定義2+2=5(致敬某短片)，那2+2=5就是它的定義

只是這個定義既不是好的定義，也沒有任何實質上的幫助

如同說一個蘋果加上一個蘋果多少蘋果

如果是一大一小的蘋果呢？兩個重量不同的物品能相加嗎？顏色有不同的物品能相加？

如果我今天把大蘋果叫蘋果，小蘋果從此改名叫做果蘋，那還是兩個蘋果嗎？

所以我說定義大家都能定，絕對不是［就只是定義呀！］這麼簡單的

再把上述的第一個例子提出來

一個裡面只有0跟1的集合，你可以定義1+1=0或是1

但是如果你定義1+1=1

那這個定義在很多方面會有矛盾的現象，導致這種定義毫無用處

但是如果定義1+1=0

那如同上述所說，他符合"體(field)"的定義，同時也有很多好的性質

甚至在很多生活方面，這樣的定義是有意義的

甚至在代數的某些角度，這樣的集合比自然數性質更好

但是無論如何，這個集合裡沒有2，所以不論你怎麼定義1+1都不會是2

這也是為什麼我們要確定有個數是2，而且2也屬於我們探討範圍裡面

所以我再重申一次!!

1+1=2絕對不是因為他是定義

而是因為無論實數或是自然數，都有一些很好的性質在背後運作

因為這些性質的運作，1+1自然而然就是2

而這個2是我們上述探討意義上的2

如果你今天硬是要把符號3跟符號2對調，然後說1+1=3

但是那個3還是上述所說的 1加上［0到1之間的距離］的那個點

所以不要再說：「1+1=2就只是定義呀！！」

因為我從今以後要定義「1+1=2就只是定義呀！！」等類似的話都是廢話！！

廢！話！

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最後了，還是要替數學系講些話

每每跟人說我是數學系的，總會聽到下面的問句：「你以後是要出來當老師嗎？」

是的，我們學出來的東西的確大家看不懂，看似沒有用

在商店買東西的確用不到微積分、走路也不用算距離

但是無論是大家家裡的手機電腦(離散數學)、地圖導航(圖論、代數)、刷卡匯款(數論、
密碼學)、法律(邏輯)等等，都有數學家在背後才能成就的

數學家看似在枝微末節上鑽牛角尖，但實際上是在用最沒有例外、最嚴謹的角度去解釋我
們的宇宙

數學家看事情非常全面，源於數學證明需要有已知(資訊)，然後利用邏輯還有各種不同的
等價條件(也就是不同角度)，才能完整的證明一個定理

在生活上，我們也會收集資訊，運用邏輯與不同的角度解決問題

對於一個在數學系延畢的人來說，我的確對各種定理運用或是一堆專有名詞懵懵懂懂，但
是我在數學系學到解決問題的方法還有看事情的角度

所以希望大家以後遇到數學系的學生別再問「你會證明1+1=2嗎？」或是「你以後要當老
師嗎？」這種蠢問題！！！！！

請直接問：「你願意當我的男/女朋友嗎？」(<3)！！！！！！

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推 Goog1e: End1F 09/15 00:51

推 mylo: 你以後要當老師嗎？2F 09/15 00:52

噓 chasewang: 你想這篇想一個一個禮拜了吼3F 09/15 00:53

老實說...這篇真的想滿久的

推 z5582143: 你數學系？4F 09/15 00:53
→ z5582143: 結果往上翻真的是數學系。

→ yoyodiy …

推 bsb0331: 幹這篇好屌7F 09/15 00:55

推 mr955258: 讚8F 09/15 00:55

推 irus901: 猛個9F 09/15 00:55

推 gogohorse: 數學系出來要當數學老師嗎10F 09/15 00:55

推 wikileak: 用心11F 09/15 00:56

推 ogisun: 用心給推12F 09/15 00:56

推 shizuo: 太屌了…!推!!!13F 09/15 00:58

→ hinajian: 挑個蛋骨你第一個field拼成filed了14F 09/15 00:58

感謝已改

推 ianpig2: 趕快推以免別人以為我看不懂15F 09/15 00:58

推 q0000hcc: 數學果然是聰明人在學的16F 09/15 00:59

=w=算是鑽牛角尖吧XD

推 gemini2010: 我想問數學的定理是不是已經到極限了17F 09/15 00:59

數學還有太多東西還沒被證明
證明完就會變成定理
也或許是人類的聰明才智真的有限
沒辦法什麼都證明出來

推 jiouje: 數學系？18F 09/15 01:00

推 ERT312: 兔草一下自然數不管有沒有包含0，都不是體(field)19F 09/15 01:00

遭糕，這裡忘慘了XD
明天早上再起來惡補一下
惡補完再來改

體公設...看來我書沒讀好:p

改好了

推 Steinadler: 給6F 最小質數是2...20F 09/15 01:01

推 gemini2010: 樓上新XDDDDDDDDDDDD21F 09/15 01:01

噓 craig100: field 翻成場就輸了他是體跟物理的場沒有任何關係22F 09/15 01:03

Sorry 已改

推 guocw3: 以前我小6的數學老師(導師)也逼我們證明寫不出來就打23F 09/15 01:03

※ jameskey:轉錄至看板 Math 09/15 01:03

→ followwar: 你說的都是懂數學的資工系神人在做的XD24F 09/15 01:03

也不是啦XD
就只是有數學的基礎在裡面

推 sheet619215: 推這篇25F 09/15 01:05

推 joehuan: 代數的field翻成體喔26F 09/15 01:05

感謝已改

推 jackXDD: 工三小27F 09/15 01:05

推 ayenliou: Yo大太神啦不愧是破解rar的人28F 09/15 01:06

推 saiulbb: 太專業了對不起我直接END QQ29F 09/15 01:07

推 silvermare: yoyodiy太神啦不愧是破解rar的人30F 09/15 01:08

→ wiydluck: 提問有一個數無法在某進制下整除何種進制可表達31F 09/15 01:08

這...我可能...會放棄??

推 super1315566:32F 09/15 01:08

推 chad60711: 神文推，可是我看到快睡ㄓ33F 09/15 01:12

推 BENNY49: 你媽會叫你幫她算菜錢嗎？34F 09/15 01:12

我真的很會算...錯

推 francis545: 快推免得別人說我看不懂35F 09/15 01:13

推 spinlol: 對不起我只看到了END36F 09/15 01:13

推 kuromu: 不是field37F 09/15 01:13

推 jeneaqa1: 哇~38F 09/15 01:18

推 a1684114: 太神啦39F 09/15 01:19

推 qaz223gy: 對不起我直接拉到底了40F 09/15 01:20

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:30:14

推 leetzuwen: 太簡單了啦 end41F 09/15 01:21

推 edison06: 數學系淚推這篇才真的要上新聞42F 09/15 01:22

先趕快幫我挑錯誤吧!!
有錯上還新聞好丟臉ToT

推 ccps934209: 趕快推以免別人以為我看不懂43F 09/15 01:22

推 MyersLi: 豪猛阿，第一次看八卦長知識44F 09/15 01:23

推 asdf70044: 誇謀啦阿幹45F 09/15 01:24

推 g1geordie: 推ert31246F 09/15 01:24

推 hide0325: 跟我想的差不多就是這樣47F 09/15 01:24

推 sorryfly: 我也這麼覺得48F 09/15 01:26

推 Azucat: 沒有錯啦49F 09/15 01:26

噓 stare7500: 以後只能賺22k 真可憐50F 09/15 01:27

推 Ponderer: 講那麼多，自然界根本沒有2（以及3、4...）51F 09/15 01:28

推 BaGaJohn5566: 厲害厲害終於勾起以前補工數的回憶惹!!52F 09/15 01:31

推 pk90027: 乾~這篇太專業了不推不行53F 09/15 01:32

推 a0989191968: 所以到底要不要當數學老師54F 09/15 01:35

我!不!要!

推 iceyeman: 淦...我看完惹.....55F 09/15 01:36

推 zun620: =)56F 09/15 01:37

推 error123: 我...我沒有按END呢！57F 09/15 01:40

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:48:53

推 KweParker: 覺得慘...我完全忘記了.. 不敢說是數學系58F 09/15 01:43

推 matrix4096: 推好認真59F 09/15 01:43

推 ya1357977889: 數學系淚推QQ....謝謝你60F 09/15 01:44

推 shallreturn: 看不懂給推61F 09/15 01:45

噓 ontherun3325: 嗯所以畢業後找到工作了嗎?62F 09/15 01:47

推 Verna800509: 教我數學吧（泣）63F 09/15 01:48

推 giveUstars: 看不完只覺得我念數學系一定死同情推64F 09/15 01:48

推 PF30: 幹，以前我老師也講過1+1=2聽起來像廢話，但解釋起來要花一65F 09/15 01:49
→ PF30: 節課，說不要浪費大家時間了
→ PF30: 今天第一次看到有人解釋，總算理解以前老師講的了

我可是花了半學期才學到這裡ToT
(又花了兩年才真的搞懂...

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:50:33

推 anice100: 開始覺得有點懂惹68F 09/15 01:51

推 Giantpanda: 推69F 09/15 01:53

推 fransice7: 看無= =70F 09/15 01:56

推 techniclaire: 文組懶得看但你好強71F 09/15 01:57

推 han19940608: 推認真文72F 09/15 01:59

噓 andy830708: 跟小一的解釋這麼長?73F 09/15 02:05

推 alvidan: 推認真的數學系解題74F 09/15 02:05

噓 THH: 不要助眠好不好75F 09/15 02:07

推 mikeneko: 你把我上高微証complete的一連串過程勾起來了76F 09/15 02:07

哇哈哈
有苦大家受有難大家享呀

噓 sky40280: 攻殺小林碑文組77F 09/15 02:09

推 alchem: 超猛給個推78F 09/15 02:11

噓 jjelm: 專版79F 09/15 02:12

推 iuo: 數學系路過... ： countable ordered80F 09/15 02:12

推 yeh0216: 上高偉時他也說過,要證明1+1=2可以寫三面黑板81F 09/15 02:13

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:25:22

推 tales1216: +U 多開發點好用的工具給我們電機系用穴穴82F 09/15 02:15

推 telescope: 你願意當我的男朋友嗎？83F 09/15 02:20

推 iuo: 你手誤打錯兩個單字

09/15 02:21

→ iuo: 好懷念高等微積分課回憶湧上心頭 thank u85F 09/15 02:22

感謝已改英文頗差XD
每個數學系學生心中都有一門高微XD

噓 airbear: 想到單操86F 09/15 02:25

推 shinemirror: 看不懂QQ87F 09/15 02:27

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:31:53

推 HuntBear: 1+1=2也可發這麼長的文真是不簡單88F 09/15 02:31

推 chihao5566: 你願意當我的女朋友嗎>///<89F 09/15 02:41

噓 Gushian: End90F 09/15 02:42

推 pttmelody: 你好強!!91F 09/15 02:51

推 home1188933: 對不起你太專業了嗚嗚92F 09/15 02:53

推 perry5216: 所以你要當男朋友還是女朋友93F 09/15 03:01

推 chaochao1988: 看到這篇想到恩師黃子嘉希望他在天上少抽點煙94F 09/15 03:02

噓 BBQ2591: 一個蘋果再加上一個蘋果等於兩個蘋果就這麼簡單95F 09/15 03:04

噓 molunptt: 幹太長了直接end (撒花96F 09/15 03:09

推 Jupiter1129: 神人...推...97F 09/15 03:12

噓 jackilee: 蛋營養的高微.....好課值得一修再修98F 09/15 03:16

推 Jupiter1129: 最小質數為0～我支持這個說法 ……99F 09/15 03:29

推 MirageAngel: ==========================================猛舒暢!100F 09/15 03:44

推 nashmvp: 推101F 09/15 03:54

推 akay08: 重點是最後一句嗎XD102F 09/15 03:55

推 yuiscarlet: 推念了一年還是不懂103F 09/15 04:12

推 der5566: 直接end104F 09/15 04:38

噓 dodo125: 廢文105F 09/15 04:45

推 aborwang: 推。。。106F 09/15 04:49

推 KayRoe: 講得很好啊。噓的在想啥？107F 09/15 05:20

噓 thm369541: 第一次看到數學系把field翻成場~您是物理輔數學背景吧?108F 09/15 05:54

原本要翻成域...但是不知道為啥打的時候打成場

推 freezesword: 沒看完給推qq109F 09/15 06:28

推 wagy40402: 推110F 09/15 07:02

推 sunev: 「複距空間」 --> 「賦距空間」你大陸人嗎？111F 09/15 07:12

感謝已改
中文也不太好的說XD

→ moonshade: 你一下使用太多條線的思惟了，應該要從阿基米得那裏出112F 09/15 07:19
→ moonshade: 出發，先從有無{0,1}開始，再從Archimedean property
→ moonshade: 論述加法的本質
→ moonshade: 一下冒出field這個詞其實是倒因為果

感謝
我的確也有想過要從阿基米德開始
最後決定不提到它的原因是我覺得這個property是用來無限逼近用的
也就是我我的確可以找的一個數列無限逼近2
但是這樣又要講到數列還有無限的概念
我覺得有點太"數學"
所以最後就沒提到

另外field在實數的時候提出來，是因為它已經很清楚的定義了運算規則

簡單來說，這樣子的敘述證明在數學系的確不夠嚴謹，而且可能有很多不詳盡的地方
但是因為不是要給數學系的人看的，所以希望用淺顯易懂但是又不偏離核心概念的講法來
?

不過既然提到了Archimedean property
我們也來稍微介紹一下阿基米德細理(property翻譯成細理嗎?)

如果(if) 任意(for all)從order field(在這裡剛好是實數)中挑出一個元素(x)
都能找到(exist)另一個在整數中的元素(n)，使得(such that) x<n
那麼(then)這個order field就有具有阿基米德細理

推 p2p8ppp: 阿鬼你還是說中文吧116F 09/15 07:26

推 cursedsoul: 所以你要當數學老師嗎？戳戳117F 09/15 07:36

推 chunyee: 嗯嗯你說的沒錯118F 09/15 07:39

推 miohsieh: 略懂略懂119F 09/15 07:48

推 namboyui: 明明就是懂程式的數學家在做才對數學系畢業推一個120F 09/15 08:11

推 cloudin: 慘了第二段開始我就看不懂了XDD121F 09/15 08:27

推 july81212: 最後一句讓我流下生科男兒淚惹122F 09/15 08:30

推 una0814: 直接end但給推123F 09/15 08:36

→ sionxp: 直接K他兩個拳頭再問他我打你幾拳?? 這樣比較快124F 09/15 08:37

噓 cg9: 推專業125F 09/15 08:40

→ Templar47: 給你一個支點.126F 09/15 08:51

推 yiyixxx: 你要當數學老師嗎? XD127F 09/15 08:56

推 BDUUU: 直接end推+1 XDD128F 09/15 09:02

推 mobilx: 數學系推,但是我想大部分人不會有興趣...129F 09/15 09:03

推 Legolasgreen: 有一部犯罪影集叫numbers，真的介紹了很多數學的用130F 09/15 09:05
→ Legolasgreen: 處，很好看

數字搜查線!!好看耶XD!!
不過說真的...主角講的東西我幾乎都沒聽懂
反正他會自己把結論弄出來=w=

推 pase139: 給推但END132F 09/15 09:08

推 TassTW: 念數學出來可以當數學家啊133F 09/15 09:16

推 faker007: 看了都睡著了134F 09/15 09:28

推 jason830301: 快推以免有人說我看不懂135F 09/15 09:32

推 LucasChen: 認真好文給推136F 09/15 09:33

推 ringo10562: 真正的數學系！！137F 09/15 09:42

推 jazz19860929: 推138F 09/15 09:42

推 qsceszasd: 你願意當我的男/女朋友嗎？139F 09/15 09:52

推 kmjhome: 數學系推140F 09/15 09:54

推 roger51306: 看不懂還是給推141F 09/15 09:56

推 zxeterzx: 不愧是數學系，快睡著了142F 09/15 10:02

推 Taiwanotoko: 看到一半我竟然睡著了...這超乎我的理解範圍了...143F 09/15 10:41

推 hungpeter: 數學老師讚讚讚144F 09/15 10:51

推 sizumaru: 感謝有你145F 09/15 10:59

推 Heimdallwind: 文組看謀146F 09/15 11:00

推 abc1231qa: 體只學過Galois field......147F 09/15 11:03

推 kktt254: 25PTT幣148F 09/15 11:04

有沒有人要贊助我的ToT
發文的時候看到只有25P好想哭...

推 Jupiter1129: 為啥還沒爆？149F 09/15 11:15

推 byon1009: 因為看不懂當然很難爆啊150F 09/15 11:21

推 fixxxxx: 翻成中文頗奇怪用數學語言好嗎151F 09/15 11:29

用數學語言的話連我自己都想睡了啦XD

推 ayugioh2003: 推一下152F 09/15 11:32

推 krisss: 我認輸了153F 09/15 11:42

推 irene160: 看不完直接推154F 09/15 12:00

推 saedn: 好厲害的中文!! 太強大了!! 你一定有女友對不對!!155F 09/15 12:30

推 tommy5301324: 幹太屌了我跪了156F 09/15 13:28

推 machungxi: 這時候要說我是文組的157F 09/15 13:41

→ whitelie14: 我問一下露西158F 09/15 13:46

推 abc0229: 推!!!159F 09/15 14:00

推 xx52002: 自然數在各國的定義不太一樣，但是台灣都直接當成正整數160F 09/15 14:31
→ xx52002: 而沒有聯集到 0 吧？

的確，但是我比較喜歡把0也納到自然數裡
主要是可以跟正整數有所區別以外
0對我而言也是大自然的一部分
這就比較偏向哲學的角度了

推 william0612: 數學系路過幫推162F 09/15 14:48

推 tmlt0912: 你數學系!?163F 09/15 14:50

推 ghytrfvbnmju: 數學系路過推164F 09/15 14:54

推 slc172: 看到最後一句才發現是自肥文 XD165F 09/15 14:55

推 feresa: 第一點有錯字，應該是「反證法」？166F 09/15 14:57

感謝!已改!!

→ feresa: 所以原po願意當我的男朋友嗎？<3167F 09/15 14:58

推 cmrafsts: 數學系魯蛇淚推168F 09/15 14:58

噓 shiow1026: 各國定義不一樣？…罰你重背ISO169F 09/15 14:59

對不起，我會找時間把我自己砍掉重練...

推 jacky3838: 一堆可悲廢物文組170F 09/15 15:03

推 lbowlbow: 如果同性跟你告白你會接受嗎XD171F 09/15 15:04

不會!!!!!!!!!!!!!

推 mightysuns: 廳的懂給推172F 09/15 15:05

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:23:26

推 bravo150900: 所以你最後是當攻城屍嗎173F 09/15 15:20

小弟最後走運動路線!!

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:27:52

推 penril0326: 看不懂給噓174F 09/15 15:25

推 killmath: 看到這篇...我的帳號表示...175F 09/15 15:28

完完全全支持你呀!!

推 harry80927: 身為數學系畢業的，必推176F 09/15 15:36

能畢業!就是神!

推 Violence5566: 你喜歡高斯嗎177F 09/15 15:36

很不是非常太喜歡
不喜歡啦>o<!!
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 15:41:46

推 Silwez: 我覺得數學系是世界上最強的系了其他的系都應該（ry178F 09/15 15:40

噓 powerkshs: 自然數沒有0.....179F 09/15 16:00

推 original77: 看完這篇想到當初一修再修的日子淚推180F 09/15 16:11

剛過完一修在修的日子ToT

推 destiny71927: 太猛了理工來推一下!181F 09/15 16:16

推 Anth: 推認真！182F 09/15 16:25

推 mollykuo: 你的水見式結果是甚麼~~183F 09/15 16:53

推 interleukin6: 深入淺出推!!怎麼還沒爆?184F 09/15 17:28

推 showdoggy: 所以你不當數學老師要幹嘛? 到7-11打工嗎?185F 09/15 17:40

教練！！我想打籃球！！(其實都在練跑酷...

推 eric1022: 數學系朝聖推！186F 09/15 17:45

推 qazaqqazaqqq: 推187F 09/15 17:48

推 freakyome: 看不懂...但推最後一段188F 09/15 19:16

推 h332563145: 文組推一個189F 09/15 19:34

推 kshtainan:190F 09/15 19:48

推 RLH: 數學好難喔191F 09/15 20:54

我也這麼覺得...

推 slimu0001: 說不定妖魔鬼怪也是一種數學能夠證明的東西192F 09/15 21:09

可能要請教哲學系或物理系的XD

推 SUMI0814: 所以你願意當我的男朋友嗎>_<193F 09/15 21:12

推 sdf611097: 太神啦194F 09/15 21:43

推 tony0223tw: 中文系：幹！講中文好嗎？195F 09/15 21:51

中文好嗎？

推 WEIKUNG: 我文組大概只看的懂6成好廢果然不同世界196F 09/15 21:51

文組懂6成！！你比我強多了...

推 chasewang: 好啦我三樓在這裡補推197F 09/15 21:58

感謝囉>o^

推 zuozuomu: >\\\\\\\\\\\\<好強唷198F 09/15 22:08

推 mx6766: 推199F 09/15 22:11

推 link5566: 我離散ring field那邊都直接跳過...200F 09/15 23:12

推 gn03291206: 推201F 09/15 23:13

推 hotbeef: 同是數學系只能推了202F 09/15 23:32

推 toosilence: 人帥真好203F 09/16 00:01

推 acardia: 數學系大推覺得現在讀數學所也自愧不如204F 09/16 00:26

--------------------------------嗨賴------------------------------

推 f8077919818: 原Po跑酷帥哥205F 09/16 00:54

推 gunlinbanana: 他沒女友大家快上206F 09/16 00:59

------------------------------------------------------------------

推 qas612820704: 什麼原來我不在Graduate板207F 09/16 01:56
推 qas612820704: 我看到很多文組吱吱崩潰XD

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/16/2015 02:51:02

噓 mos588p: WTF209F 09/16 04:15

推 MissPigHead: 推啊～210F 09/16 09:01

推 sktynnic3421: 文組看得懂但也不知道是不是真的懂了XDD 好險當211F 09/16 09:18
→ sktynnic3421: 初沒走數學系(？

略懂，略懂

推 september39: 我只會A=A+1, 阿賓老師教的....你有學過嗎213F 09/16 09:26

看起來像是程式迴圈？

推 zxp930110: 推~~ 太猛惹XD214F 09/16 09:27

推 e86117934: 你是證明系喔？215F 09/16 10:37

推 xgreen1001: 數學系畢業淚推216F 09/16 10:40

畢業都是神

推 x85160: 數學系朝聖推(?217F 09/16 11:58

-----------------------------------------------------------------

推 h2o1125: 看不懂為啥要扯到實數完備性整數加法群本身就有封閉性218F 09/16 13:10
推 h2o1125: 只要用整數加法群 +皮亞諾公理就可以證出來了不是嗎
推 h2o1125: 1+1=2的證明主要是皮亞諾公理與定義+1為後續數
→ h2o1125: 證明加法運算是well-defined的二元運算就證完了
→ h2o1125: 你的講法倒果為因用複雜的東西證明簡單的東西不太對

你講到了實數跟整數

我們一定要先把這個東西弄清楚，所以我們先講實數是怎麼被我們定出來

首先我們已經有了大自然界中的自然數(先假設0也在裡面)

在皮亞諾公設下，自然數加上代數的作用，我們可以創造出整個整數(正、負整數跟0)

有整數之後，我們再利用代數再填補出有理數，於是我們離實數就差一點點了

還差了些甚麼呢？就是沒辦法被表示成分數的無理數

於是我們用有理數去逼近無理數(方法很多，本篇的方法就是用柯西數列逼近)

至此我們才有了完整的實數(維度是一的實數)

為什麼要講這個呢？

因為實數跟整數就是不一樣！！

我們探討皮亞諾公設的時候，常常講到"後繼數"

在自然數的情況下1的後繼數就是2

那實數呢？如同上述所說的，在實數的情況下1有沒有所謂的後繼數？

是2？ 1.5？ 1.25？

無論你選一個在怎麼靠近1的數，只要那個數不是1，那我就可以找到比你更靠近的數

後繼數這個概念在實數中消失了

那皮亞諾公設能不能用呢？

說實話我不知道，皮亞諾公設還有後續的變形公式

但是我沒有學到那個，也不知道適不適用於實數

但就我所學，實數已經不適用於初階的皮亞諾了

而且我記得我上面有提過，在自然數的情況下，我也是用皮亞諾去解釋的...

而封閉性其實是從這裡來的

我承認我直接須略掉封閉性，而只取用了運算規則的部分

因為我不認為深究在那個點上，會對1+1=2這件事有更多的理解

我希望的只是提供一個概念，而非嚴謹的證明

要嚴謹的證明，網路上的資料通通有，所以我也不必獻醜=w=

我是這樣想啦...

※ 編輯: co766543 (140.115.26.93), 09/16/2015 15:24:14

推 qweertyui891: 所以你要當數學老師嗎?223F 09/16 14:56

噓 xcycl: 錯慘了還一堆數學系的朝聖...224F 09/16 15:06

請大哥指點小弟一翻，小弟願意受教
※ 編輯: co766543 (140.115.26.93), 09/16/2015 15:25:41

→ Babbage: h2o1125說的是對的，你完全不需要提實數完備性，那是本末225F 09/16 15:46
→ Babbage: 倒置。本來整件事就和實數無關。

是這樣的，如果我開始改成問1+0.5=1.5，或甚至我加個無裡數

那皮亞諾公設就沒辦法提供，我們要的結論啦

既然能有一個更泛用的理論，而且又貼近現實

那為何我要一直在意整數呢

如果只討論整數，那當然跟實數無關呀

但是如果我開始討論實數軸呢？那就有關了嘛！

推 Szss: 老媽：1+1=2 那高麗菜今天1顆50 明天100變0.5顆何解？227F 09/16 16:12

這個問題你要問九哥或是毛哥

九哥可能會跟你說：「買一顆高麗菜不夠，你有買兩個嗎？」

另外如果你找到毛哥的話...我相信很多人也在找他...

噓 ryanblue: 我在__系學到解決問題的方法還有看事情的角度228F 09/16 16:27
→ ryanblue: 上面空格帶入任一科系名稱都能成立
→ ryanblue: 所以你這句話是在我看來是徹底廢話 by生蚵魯蛇的我

※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/16/2015 16:36:12

→ l95566: 無聊數學家怎麼不都去吃大便幹231F 09/16 16:39

推 Kmmmmmmmmmmt: 1=1 這是邏輯概念自然界沒有 1=1 吧?232F 09/16 16:52
→ Kmmmmmmmmmmt: 比如 1個蘋果=1個蘋果 1kg=1kg 實際上都有誤
→ Kmmmmmmmmmmt: 差就算是原子也只是近乎等於而已

推 h2o1125: 你再喇叭啊實數根本沒有定義後繼數235F 09/16 17:09
→ h2o1125: 1+1=2 要證明只要討論 1 + = 2 這些符號的意義即可
→ h2o1125: 你扯這些奇怪的東西根本就是亂七八糟莫名奇妙
→ h2o1125: 文中根本也沒提科西你的實數完備性用在哪？
→ h2o1125: 1+0.5=1.5 跟1+1=2完全是兩種不同概念
→ h2o1125: 1+0.5=1.5 你要先定義實數但是1+1=2根本用不到實數
→ h2o1125: 皮亞諾公設即可證明你的講法只是代表你根本不懂
→ h2o1125: 就像要證<Z,+,*>是個環你卻說他是個體所以得證
→ h2o1125: 根本亂七八糟莫名奇妙用後面的結果去證前面的公理亂扯
→ h2o1125: 你根本就看不懂皮亞諾運算才會亂扯這些有的沒的
→ h2o1125: GOOGLE 1+1=2 第一篇就有證明不過你的程度應該看不懂
→ h2o1125: 所以才會扯體實數有的沒的根本抓不到重點

推 Kmmmmmmmmmmt: 我記得地球是平的 XD247F 09/16 17:17

→ h2o1125: 整個證明重點在 + 的定義看似直觀簡單還是需要well-def248F 09/16 17:18
→ h2o1125: 1+1=2 實數+實數落在實數是封閉性不是完備性
→ h2o1125: 完備性一般用在wel-stras逼近定理等要證有界數列
→ h2o1125: 必收斂而且收斂點是實數跟1+1=2根本天差地遠
推 h2o1125: 拿你的文章去給你代數學教授看看這種程度敢說是數學系
推 h2o1125: 你自己去看轉到math版的文章跟我說的一樣根本鬼扯
→ h2o1125: 只能騙騙八卦版的假理組這也證明我之前說數學系
→ h2o1125: 90%都是混畢業的XDD

推 suhorng: 題外話是，如果你知道我們到底用過多少實數，那實數其實256F 09/16 19:17
→ suhorng: 是個相當不真實的東西呢。

推 mvp04: 你教的比教授好 XD258F 09/16 19:44

推 x710142857: 雖然我也不是很懂，不過這篇文章的邏輯真的怪怪的，當259F 09/16 21:00
→ x710142857: 然說不定是我搞錯了XDD。就在下所知，數學家是為了解
→ x710142857: 決ordered field完備性的問題而建構了實數。
→ x710142857: 所以實數本身就具有完備性。因為他就是為了完備性而建
→ x710142857: 造的。我覺得這樣說比較自然，原文裡事先有了實數再去
→ x710142857: 看完備性，這樣其實挺不自然的....
→ x710142857: 比較自然的思考順序應該是1.零和一 2.自然數 3. 整數
→ x710142857: 4. 有理數....然後人們發現很多奇怪但不屬於有理數的
→ x710142857: 數，像是pi和根號二，為了說明這些數到底是從哪來的
→ x710142857: 然後建立了一個包山包海，具有完備性的系統，那就是
推 x710142857: 實數。至於由有理數所建構出具有完備性的系統是唯一的
→ x710142857: ，那就是另外的故事囉XDD

推 Jupiter1129: 我可以當你男朋友嗎？271F 09/17 01:49

推 mx6766: 推272F 09/17 07:32

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DispBBS

1樓時間: 2015-09-15 16:16:58 (台灣)

→

week3019

　 09-15 16:16 TW

1+1=2

2樓時間: 2015-09-15 16:26:16 (台灣)

→

xaockimo

　 09-15 16:26 TW

你以後要當數學老師齁

3樓時間: 2015-09-15 23:21:49 (澳大利亞)

→

fuckchina

　 (編輯過) AU

高微還好啦 跟ZFC這個beast比屬於溫柔的小貓 凡是數學系的應該都至少略懂 ZFC集合論就真的只有專精集合論的人懂了 對於其他數學分支的人來說跟天書沒什麼差別

4樓時間: 2015-09-18 23:51:18 (台灣)

→

yyi

　 09-18 23:51 TW

還好當年沒考上數學系 XD

5樓時間: 2015-09-18 23:54:31 (台灣)

→

zzz111zzz111

　 09-18 23:54 TW

好長一篇 1+1說著說著就出了一本書...

6樓時間: 2015-09-19 00:14:47 (台灣)

→

dobalala

　 09-19 00:14 TW

雖然讀數學系，我大三已經修完全部的課...除了高微...Orz(二修去

7樓時間: 2015-09-19 12:58:35 (台灣)

→

dispgogogo

　 09-19 12:58 TW

耍嘴皮子。

8樓時間: 2015-09-19 17:54:00 (台灣)

→

frhjrr

　 09-19 17:54 TW

認識一個數學糸 已經瘋了

9樓時間: 2015-09-20 00:48:24 (台灣)

→

star28

　 09-20 00:48 TW

看完發現自己不懂= =+

10樓時間: 2017-02-18 00:45:44 (台灣)

→

WSY1202

　 02-18 00:45 TW

幸好已經畢業了，想到那些日子真的可怕，腦都不知道在想啥

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