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※ 本文為 layzer 轉寄自 ptt.cc 更新時間: 2017-01-16 07:48:05
看板 Gossiping
作者 zax8419 (不要查我哎批嘛Q)
標題 Re: [問卦] 強迫人接受0.999...=1算不算是一種歧視??
時間 Thu Jan 12 06:26:23 2017

%補充一點前言
%此篇文章用了很多非精確的證明及方法
%於數學上必然有瑕疵
%不用很精確的證明及數學符號的目的在於不要讓大家留下數學都看不懂的印象
%也盡可能沒有把話說死
%若要很詳細的解說 可以去專版 or開書單
%這邊所用的方法大致上應該是高中生能看得懂的
%至於由於不想讓大家把焦點放在文組理組 我選擇使用"社會科學""自然科學"的二分法
%造成大家看了不甚滿意 我感到很抱歉QQ

             _
%如果想詳述0.9=1 的更深的理由 可以從有理區間套去構造實數的完備性
%前面的文章有 概念不難 但看了豆頁絕對會痛
%如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數
%看完就懂了 但前提是要看得完且看得懂QQ

%另外我打這篇文章也只是想賺一點p幣
%所以在寫的時候沒有去查一些資料 可能造成了一些錯誤QQ

%然後 真的沒有要戰文組理組QQQQQQQQQQQ

(文超長.....)

兩個即便有了答案 但仍然常見の數學問題
     _
(1)0.9=1 ?
(2)∞有多大 ?

一個至今還在爭論の數學(?)問題

(3)1+2+3+4+.......= -1/12 ?


這其實是一個自然科學跟社會科學&文學很大的區別

文科的發展是從文化而來 隨著社會的發展而有所改變

在一個階段之後 可能就不會有一個"標準答案"

誰也不敢保證當初李白寫詩心理的想法跟如今的闡述完全相同

甚至當今很多拿來考試的文章 重新詢問該作者 也是得到不同的答案


但 這也不代表社會科學及文學沒有其存在的意義(沒要開戰的意思Q_Q)




反之 自然科學則是在討論任何事 大多都會佐以詳細的背景及證明

就如同這兩個問題一樣

      _
(1) 0.9 = 1 ?

若要詳細敘述他

首先要確認他在哪個環境(群or體)下

再去考慮該環境下的定義


於是乎 可以產生很多很多證明

如同之前許多篇文章也有提到方法

(ㄧ)
        _
  x = 0.9   .........①
        _                           (此處有循環符號!!)
10x = 9.9   .........②
                 _     _
②-①==> 10x-x=9.9 - 0.9 = 9x =9
          _
==> x=1=0.9



(二)

令a_n= 9 * 10^(-n)

於是

a_1= 0.9

a_2= 0.09

a_3= 0.009

......

所以 根據等比級數
 ∞          9*(1-1/10^n)       9/10-9/10^n
 Σ  a_n = _________________= _______________= 1  (∵9/10^n=0)
 n=1           1-1/10           9/10                 if n------>∞

(另外要證明有上界)





(三)
            _
因為1/3 = 0.3
                    _         _
所以1/3 * 3 = 1 = 0.3 * 3 = 0.9


這三種 當然在數學系的眼裡 (一) (三) 都相當不嚴謹

但是對於一般學生 是個比較好理解且直觀的方法



至於我自己如果要解釋給別人

會這麼說





(四)

在一條數線上 兩數相等意味著兩個點是同一點(應該沒有爭議拉)
                                          _
那 在一條實數線上有A,B兩點 分別是A(1) B(0.9)

所以這兩個點是同一個點嗎?

--->是    則兩數相等
--->不是  則找出A,B兩點的距離  ------>距離為零    則兩數相等
                               ------>距離不為零  那可以去發表數學論文了
                                            (如果推導全部沒錯 那就真的可以了)

             _
所以結論為 0.9 = 1







那如果要打破砂鍋問到底

就寫個Q&A吧

Q1: 關於方法(一) 10x 跟 x 的小數點後面不是應該差一個0.000.....0009嗎?

A1: 因為循環小數這個符號 就意味著無窮無盡 所以不會有盡頭



Q2: 他們之間不是會相差 0.0000......00001嗎?

A2: 0.0000......000001 這不是一個數字(如果他是一個數字 則他等於0)
    一個數字 是只存在唯一一個值的



Q3: 那原因是什麼?

A3: 因為我們如今生活中常見的是"10進位"

    在之前的文章中 也有人提到 在程式中 0.1+0.2 ≠ 0.3 (可以很簡單用MATLAB試試)

    這個原因則是因為電腦都是採用"2進位"


    所以當你輸入"0.1"這個數字時

    程式內是將這個數看作0.00011001100110011...00110 (有盡頭)

    而"0.2"這個數字

    則是0.0011001100110011...01100(有盡頭)

    那"0.3"這個數字

    則是0.0100110011001100...10011(有盡頭)

    所以 "0.1 + 0.2" = 0.010011001100......10010
    但   "0.3"       = 0.010011001100......10011

    就會發現在最後尾數有所差異
                   _
    而這個問題與 0.9 = 1 的決定性差異就在與"有盡頭"

    但也不要怪電腦笨 為什麼要有盡頭

    因為如果沒有盡頭 當你用程式打0.1+0.2 時 電腦會跑到死(記憶體有限)

    這也是為什麼人類不可能被電腦完全取代的原因

    因為電腦無法在實務上真正處理"無限"的問題 而人類可以

    所以與二進位的討論差不多 "十進位" 在這個問題下 就會產生這樣的現象







(2) ∞ 有多大?

這個問題比起上一題就簡單得多了

因為∞這從來都不是一個數字！！

如上題Q&A 的 A2 說的

一個"數字"必然只有唯一一個值

但∞代表的是"要多大有多大"

也就是說比你想到的任何一個數字都還要大

既然是一個如此不定的量 所以他就不符合"存在唯一一個值"

所以∞不是一個數 他只是一個符號!!


但∞也是有量級之分的

如同整數有∞多個 有理數有∞個 無理數有∞個 實數有∞個

但 所有整數個數 = 所有有理數個數 < 所有無理數個數 = 所有實數個數

但這就不多談了XD





(3) 1+2+3+4+..........= -1/12

這個等式也是至今仍然爭論不停的問題

那先來看一個比較淺顯易懂的證明           這很重要
                                         ↗
令A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ..........(沒有盡頭)

那我們可以將A改寫成

A = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....................)
                    ↘
然而可以發現  括號中的東西剛好等於一開始的A

所以可以寫成 A = 1 - A

再根據簡單的國中數學 知道 2A = 1  ,  A = 1/2

那再來看另一個值

令B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ...........(沒有盡頭)

把它寫歪一點 然後相加

 B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +............(沒有盡頭)
 B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -............(沒有盡頭)   (+
_____________________________________________________________

2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +............(沒有盡頭)
   = A = 1/2

==> B = 1/4


然後看最後一個值

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +............(沒有盡頭)

把它跟B寫在一起 然後相減

 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +.......(沒有盡頭)
 B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +.......(沒有盡頭)  (-
_______________________________________________________
S-B=     4     + 8     +12     +16 +.......(沒有盡頭)
   = 4(1 + 2 + 3 + 4 +......)
   = 4S

同樣的 根據簡單的國中數學

==>S-B = 4S
==>3S = -B = -1/4
==> S = -1/12

這就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........= -1/12 的由來

但為何至今仍然頗受爭議呢?


簡單而論就是第一條式子

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..............(沒有盡頭)
  = 1/2
這件事

只要有學過數列的定義 一定會碰到所謂的 "發散數列" & "收斂數列"

然後非常顯而易見的是 A 是一個在0 ~ 1 之間震盪的"發散級數"

所以不可能會有值

然而一開始即將他視為 1/2 是個極其荒謬的數學錯誤

既然一開始就是錯的 那接下來的步驟當然都沒有意義了R  ← 部分數學家這麼想

BUT!!!!!!!!!!

這個結論居然跟弦論裡很重要的黎曼函數的特例一樣

並且其結果存在於自然界中

所以結果當然是沒錯啊 難不成是自然界的BUG?           ← 部分物理學家這麼想


所以還是很多人在爭論拉


一樣來個Q&A
    m       m(m+1)             ∞           ∞(∞+1)
Q1: Σn  = -------  不是嗎?  那Σn 當然等於--------- 才對啊 怎麼可能是-1/12
    n=1       2                n=1              2
A1: 首先 上面這個公式是只適用於"有限"的數 但∞根本不是一個數 所以不成立

    再者 照直觀來看 任何結果都不會是結果 因為他的值比你想到的任何數都大

Q2: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -........=1/2 什麼的 要怎麼用物理解釋?

A2: 比較好理解的想法 是"機率"的概念(但如果考試寫機率 絕對錯)

    舉例是這樣的

    現在有一個燈 在一開始是亮的

    但過了0.5秒後 就關了

    再過了0.25秒後 又開了

    再過了0.125秒後 又關了(傲嬌屁)

    按照這個規律 每過一半的時間就改變它的狀態

    那麼....開始計算後完整一秒

    燈會是亮的還是暗的?



    或許我們看不出來 所以就說他是亮1/2 這樣




    另外也分享一個小故事

    曾經有個虐貓的人

    在一個密閉小箱子裡放了一隻貓&一個毒氣桶(or能殺死貓的任何東西)

    然而不知道是從哪裡知道的 反正他說

    "這隻貓在某段時間內啟動了毒氣桶而死的機率是1/2"

    於是在真的過了某段時間後

    虐貓人說了一句 經典的話

    "只要我打開箱子 就能確認貓死了沒
     但是在我打開箱子觀測前 這隻貓屬於半死半活的疊加態!!"

    所以 我們也可以大聲的說

    "在確認最後一個是+1 還是-1前 這個值就是半1半0的疊加態!!"
                                ( 又是1 又是0 又疊加 >////<)




結論:

這三個問題 在未來仍然會不斷被拿出來講(無奈)


也回到前言 自然科學會有嚴謹的證明 再來確認他的正確性
                                        (剛剛證明的1+2+3+....其實不嚴謹)
           社會科學則是以觀察&統計分析 來討論

兩者都有其優點 當然也有其缺陷

所以如果回到最原始的主題
            _
強迫不認同0.9 = 1的人去接受 算不算歧視?


不算 在嚴謹並精確的證明後 這是個可以被完美證明的事實

如果不接受 可以考慮修個微積分



或者 告訴大家 到底兩數差了多少吧





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.243.228
※ 文章代碼(AID): #1OTh4Iyc (Gossiping)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1484173586.A.F26.html
推 candog: 推1F 01/12 06:28
推 jj1379746: 嗯嗯跟我想的差不多，看來我有112的資質2F 01/12 06:28
推 Danto18: 我想問所以1.99...也等於2嗎? 2.99...也等於3嗎?3F 01/12 06:32

           _         _
對啊沒錯 1.9 = 1 + 0.9 = 1 + 1 = 2

推 harry901: 雖然很認真的回  但我覺得MATLAB的部份不應該拿來寫4F 01/12 06:32

就...解釋一點原理吧@@

→ ODFans: 看到數學系就直接End了5F 01/12 06:33
→ Danto18: 還是只能0.99...等於1其餘不能類推6F 01/12 06:33
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:34:37
→ harry901: 實際上你在MATLAB輸入0.2+0.3就會=0.5 或許您解釋的不7F 01/12 06:33
→ harry901: 善完美  我知道你要說得東西 不過  那段文字不大清楚
→ harry901: 十進位造成大部分鄉民無法瞭解的意含是重點  但MATLAB
→ harry901: 的計算  其實遠比問題本身的概念還差很遠  XDDDDDDD

那邊主要是想說有限跟無限的概念拉

然後在之前的文章裡也有推文說這件事

就順便講了

→ harry901: 然後  社會科學跟自然科學這部份論點 鄉民值得深思11F 01/12 06:36

※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:37:51
→ harry901: 這東西很TRICK的呢～樓下您說呢12F 01/12 06:37
推 youtu5566: 一早讓我看這個，是不想讓我好好吃早餐嗎？13F 01/12 06:37
推 Dorapedia: 任何有限小數都可以寫成兩種形式14F 01/12 06:38
→ Dorapedia: 例如5.32=5.31999999...

偷偷說 這不是兩種形式噢 是同一種

→ Dorapedia: 然後推這篇優文16F 01/12 06:39
→ harry901: 形式是數論定的  形式不會影響真理17F 01/12 06:39
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:40:19
→ harry901: 但並非任何形式都可寫成   囧我好像在傳教18F 01/12 06:39
→ Dorapedia: 那個1+2+3+4+...其實一開始就是假定發散數列也可以對應19F 01/12 06:40
→ Dorapedia: 一個值
→ Dorapedia: 發散級數才對…
推 harry901: 發散的東西  99%都沒有值得討論得點  剩下來的1%更是22F 01/12 06:42
→ harry901: 垃圾  重點在於要發不發那種東西才討人厭
→ harry901: 好比百家樂 我大你一百萬 你大我兩百萬 大來大去好可怕
→ harry901: 然後就是  ...  三個點點點  我有發文  恩  這同一個東
→ harry901: 西  即使你5.32=5.31999...
→ harry901: 在討論那的級微小的事物之前  數學界是沒有極限
→ harry901: 而物理界是有極限的  就是粒子  這也是兩界爭議話題
→ harry901: 然而文組大部分偏向：1就是1 2就是2   所以開戰
推 xeriof95092: 你再要求我接受 我就要去告你強制罪喔 氣噗噗30F 01/12 06:50
→ harry901: 樓上  那你不要接受1+1=231F 01/12 06:51
→ harry901: 這東西有趣的很  數學界就是那樣  物理界拿來用
→ harry901: 一部分認為OK  用的爽  一部分認為要改  也用的很爽
→ harry901: 剩下的少部份就是死也不承認的

求求你們別開戰R Q_______Q
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:55:04
推 ACHANEW: 一大早的豆頁好痛阿～～推優文35F 01/12 06:54
→ DCHC: 數學只是工具，不要拿工具來玩。36F 01/12 06:54
推 harry901: 對不起  我只是想炒熱話題  我向95092道歉 我知道他是反37F 01/12 06:56
→ harry901: 串  XXDD
→ SunSky0126: 要開戰的是你吧……好吧八卦這類人不少……39F 01/12 06:56

我真的沒有要開戰的意思Q_Q

→ DCHC: 至少替中學生們著想，不要讓學生覺得學習數學很痛苦。40F 01/12 06:56

把這些當科普挺有趣的R
→ harry901: 然後最後就是  數學人:1=0.999...  物理人:1=\=0.99941F 01/12 06:57
推 xeriof95092: 前幾篇太多人不接受啦 也看不出來是不是反串...42F 01/12 06:58
→ harry901: 其後物理人又用了點1=0.999.9..   這大概是我總結吧43F 01/12 06:58
推 xeriof95092: 1=0.999.9.. <-這個我第一次看到 覺得新奇44F 01/12 06:59
推 harry901: 數學物理常常表來表去不EY  PHYSICS版多看就知道了45F 01/12 07:01
→ harry901: 但不會比文組裡組  高中高職  戰的那麼嚴重
推 snowrain: 推 長知識 但"寫歪一點"本身就有問題了 同發散數列謬誤47F 01/12 07:02

大錯在前 後面的對錯已經毫無意義了啊~
推 SunSky0126: 文理八卦最愛（摸鼻48F 01/12 07:02
→ harry901: 舉一個明顯CASE數學人:小明體重35KG000  物理人會說49F 01/12 07:04
→ harry901: 你少加了力量單位  體重應該是KGW  所以是35KGW
推 SunSky0126: 淨重？！51F 01/12 07:05
→ harry901: 然後文組此時出現：大家不要吵 都台灣人      (戰52F 01/12 07:05

XD 我喜歡這個
推 r09270003000: 文組湊熱鬧53F 01/12 07:05
→ SunSky0126: 這好嚴重www54F 01/12 07:05
→ harry901: 更正前推文  35KG000  是35KG  後面三個0不知怎麼出現ㄉ55F 01/12 07:06
推 abc21086999: 這高中有教56F 01/12 07:07

高中有教不代表會 會了不代表記得
推 Dorapedia: 然後開始有人吵是台灣人還是中國人57F 01/12 07:07
推 SunSky0126: 還有估計值……58F 01/12 07:07
推 harry901: 然後皇民會出現 ㄉ  是臺灣片假名  很多26不懂59F 01/12 07:08
推 ccs9631: 最後一段不是薛丁格的貓嗎？60F 01/12 07:13

不是 是虐貓人
推 remprogress: 專業推61F 01/12 07:14
推 ConsumerHD: 先推 不然別人以為我看不懂62F 01/12 07:15
推 shiauji: 又出現早起認真文 推個63F 01/12 07:15

噢不對 是沒睡(攤)
推 kinuhata: 推無限的概念 很多人常常誤用∞這個符號64F 01/12 07:16

趁機補充一點點

∞是代表最大嗎? NO

因為如果∞是最大 那(∞+1)>∞ 那無限大就不無限大了
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:21:11
推 sujes: 深入淺出，好文65F 01/12 07:16
→ WINDHEAD: 恩 你混淆了蠻多概念 不過念在是八卦版面就不計較了66F 01/12 07:16

我打到一半也發現XD 但意思到就好
推 iamgaylan: 我文組啦 這三小 我只會九九乘法表67F 01/12 07:17
推 yannicklatte: 供三小68F 01/12 07:20
推 shiauji: 另外1 & -1 那邊要用1x2的矩陣 or ket 表示會比較嚴謹些69F 01/12 07:20

用ptt打矩陣好麻煩QQ
推 doraemon8709: IP正確70F 01/12 07:20
推 nedetdo: 為什麼一大早要逼我讀書71F 01/12 07:21
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:24:11
推 tigernaxo: 頭好痛…72F 01/12 07:22
推 vn509942: 推73F 01/12 07:22
推 whynotwhy: 大感謝 大推74F 01/12 07:23
推 lecheck: 我之前就覺得第三題很好解 重點不是運算 而是數列內的元75F 01/12 07:23
→ lecheck: 素內含數列序號的資訊 當年挪移是 序號被改變了 實際上不
→ lecheck: 等同挪移前的狀態
→ lecheck: 打錯 是當你挪移時

我明白 但單就結論與過程的討論而言(屏棄過程不可取)

結論在弦論裡面是正確且可備運用的的

過程在數學中是不嚴謹且瑕疵的

所以還會開戰@@
推 harry901: 戰吧  越戰越強79F 01/12 07:28
→ ScorpioLight: x=0.9那10x應該是9.0為啥會是9.9？？80F 01/12 07:28

那個地方的循環符號錯位了QQ 感謝發現
推 lecheck: 要論證也很簡單 那個數列的定義明明就是1，n+1 從中間任81F 01/12 07:29
→ lecheck: 何一個地方插入0 即時值相當 但結構就被破壞了 而數列的
→ lecheck: 運算必須以結構的完整為前提
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:32:32
推 eric2057: 先推 不然別人以為我看不懂84F 01/12 07:34
→ Jay0924: jppt只能看到0.9=1嗎85F 01/12 07:35
推 sate5232: 一有問題吧，10x不是9.0嗎，怎麼會是9.986F 01/12 07:35

有改好了QQ
推 brian0211: 露西：時間才是一切87F 01/12 07:38
噓 magicbook123: 第三個證明是錯的好嗎  別亂教88F 01/12 07:38

結果是對的啊 (部分物理學家在意的點
推 aiguo: 幫高調，我瞥一下就看得懂89F 01/12 07:39
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:43:14
推 GaussQQ: 就zeta函數解析延拓的值，也沒啥好戰90F 01/12 07:41
→ GaussQQ: 數學上不會寫你那個form,而是寫zeta(-1)
→ StuLeo: 嗯嗯，對啊對啊  我也是這麼節的92F 01/12 07:44
推 silencemars: 看完就醒了93F 01/12 07:45
推 wan620623: 優質文推94F 01/12 07:45
推 GaussQQ: 錯誤起頭 得到正確結論 湊一湊就好95F 01/12 07:45
推 sun770618: 文組一臉懵逼的推文96F 01/12 07:46
推 pk2020200: 推97F 01/12 07:47
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:49:45
推 whyhsu: 有趣推98F 01/12 07:49
推 digodi: 大概意思到了~99F 01/12 07:52
推 GaussQQ: 級數發散是無庸置疑，只是用另一個觀點看是-1/12100F 01/12 07:52
推 bryan861111b: 問你教授啊101F 01/12 07:52
→ GaussQQ: 但是沒有數學問章敢這樣寫發散數列等於一定值102F 01/12 07:53
→ GaussQQ: 一定被拒絕
推 ROBrandenbur: 推104F 01/12 07:53
噓 magicbook123: 第三個就是數學謬誤  科學最怕犯這問題105F 01/12 07:53

數學推導過程上真的有很明顯的錯誤啊 沒有否認過

推 reality6699: 如果有人告訴你「這個妹你有9成9機會可以追到」呢？0106F 01/12 07:55
→ reality6699: .9999....還不等於1嗎？XDD

機率100%不代表會發生     ex:在實數線上隨機抽到0以外的數字 的機率為100%
機率  0%不代表不會發生   ex:在複數平面上隨機點到純實數 的機率為0%
推 IsadQQ56: 電機系該不該修個高微ㄚXD108F 01/12 07:57
→ IsadQQ56: inverse transform都不知道怎麼來的QQ
推 poisonshing: 太簡單了110F 01/12 08:00
推 x284yk6cjo5: 推111F 01/12 08:02
推 masterliy: U值好文112F 01/12 08:08
→ b19900127: 10x=9吧113F 01/12 08:10
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 08:12:29
推 kipi91718: 推114F 01/12 08:11
推 ken70418: 豆頁痛115F 01/12 08:12
推 s3561151: 抱歉我文組看不懂QQ116F 01/12 08:13
推 grandzxcv: 過程是錯的但是答案永遠是對的117F 01/12 08:14
推 andy5656: 推118F 01/12 08:18
推 BAR21: 10X=9.99...,10X-X=9X=9,X=1??119F 01/12 08:19
                 _     _
②-①==> 10x-x=9.9 - 0.9
         = 9x =9           只是把他沒有分行寫在一起而已

推 op111925: 嗯跟我想講的差不多120F 01/12 08:19
推 ying02: 深入淺出 推個121F 01/12 08:20
推 ayugioh2003: 推 用R來跑 0.1+0.2==0.3 也是 false122F 01/12 08:21
→ ayugioh2003: 應該就是程式設計常說的浮點數運算的缺陷吧

這個缺陷合情合理但不合大家的意

推 Hateson: 推124F 01/12 08:22
推 alen831013: 早餐配數學   讚喔125F 01/12 08:24
推 kop5236: 我是數學白痴只能END了126F 01/12 08:24
推 tasin: 我覺得寫得不錯 猴子都看的懂大部份 你可以教書惹127F 01/12 08:25
噓 druid0214: 文組  機率就講錯了  六面骰七點機率零你跟我說有可能128F 01/12 08:26

這還真的有可能....

誰說骰子不會斷成兩半 剛好兩個半面和一定會是七點....

另外我舉的例子才是我指的意思

推 t05987: 看無啦幹129F 01/12 08:26
推 gn01914712: 這篇沒爆是八卦版之恥130F 01/12 08:26
推 shutandlaugh: 文組難過131F 01/12 08:27
推 johnny94: 好久沒有這種好文了132F 01/12 08:27
推 william2961: 沒有人發現x=0.9 10x應該是9.0嗎？不是9.9133F 01/12 08:28
到底是哪一行我有漏寫循環符號了QQQQQQ我找很久了QQQQQQ

推 haru97724: 推個。另外，你是期末考到崩潰嗎XDDD134F 01/12 08:28
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 08:31:42
推 bingreen: 只能推了！135F 01/12 08:29
噓 druid0214: 那是趨近零 不等於零  八卦萬年討論136F 01/12 08:29
→ druid0214: 自盡吧你
推 GiPaPa: 樓樓樓樓上的william....你再重看文章一次138F 01/12 08:30
推 oxen: 優文先推139F 01/12 08:31
推 nestea911399: 那定義是靈口以嗎？140F 01/12 08:31
推 elibra01: 認真回給推141F 01/12 08:32
噓 druid0214: 題目就是公正色子 還在那邊鬧142F 01/12 08:32

呃 我沒看到你寫公正的啊
→ druid0214: 八卦菜鳥滾好嗎143F 01/12 08:32
→ druid0214: 文組滾

我也覺得理組好難讀QQ
→ druid0214: 那我換句話說  機率是定義在0~1之間145F 01/12 08:33
→ druid0214: 一件事情發生機率為-1 的機會是零  你說有可能
我還真的沒聽過有"一件事情發生的機率為-1"這樣的說法欸
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 08:36:50
→ druid0214: 不要秀下限  快改你的東西147F 01/12 08:34
推 yoanzhong: http://i.imgur.com/9KqGQtp.jpg148F 01/12 08:39
推 zeristso: 文組說人之所以沒有極限是因為人相信人沒有極限149F 01/12 08:40
推 ChenYiBoy: 我還是看不完全懂 不過很謝謝你的教導XD150F 01/12 08:40
推 GothicMetal: 好文，推151F 01/12 08:41
推 ctx705f: 幹你媽講中文不會膩152F 01/12 08:43
推 rockho: 連續分佈單點機率就是0啊，但是你還是有機會抽到某個點，153F 01/12 08:44
推 cheinshin: 推154F 01/12 08:44
推 watchout: 只有弦論此證明無法接受155F 01/12 08:46
推 mynewid: 我以為這是常識156F 01/12 08:46
→ googleit: 你如果單說數學我還勉強可以接受 自然科學都有嚴謹的證157F 01/12 08:47
→ googleit: 明？ 那科哲那些討論是都在浪費時間嗎

我有寫大多
推 UrsaLiker: 無窮個無窮小，依然是零嗎？159F 01/12 08:48
推 googleit: 自然科學之所以會不斷向前推進，正是因為我們自以為已160F 01/12 08:48
推 googleit: 知的、被「嚴謹證明」的事物都常有被推翻的特例

Ex:地球是平的
推 cerberi: 推162F 01/12 08:49
→ MattOwl: 微積分對你會有幫助~163F 01/12 08:50
噓 tom80114: 不管你們吵什麼 感謝y大推圖164F 01/12 08:51
推 whynotwhy: 再推個 為什麼文組這詞會拿來奚落人用呢＝＝165F 01/12 08:52
→ sa103446: 總之，感嘆y大，讚歎y大166F 01/12 08:53
推 s9001055: 推167F 01/12 08:54
推 ming0803: 112好棒棒168F 01/12 08:56
推 st2913sbck: 推169F 01/12 08:56
推 lishing0923: 你好我物理人 …170F 01/12 08:58
推 germun: A是無窮數列, 所以2A不會等於1, 從2A開始就推錯了171F 01/12 08:58
→ aspd5306: 乾講那麼多...這就是"觀測"的問題而已  但很多人不懂罷172F 01/12 08:58
→ aspd5306: 了
→ germun: 先定義好∞+∞會等於什麼才能去推那個問題174F 01/12 08:58
推 Liwjim: 整篇對我來說跟1+1一樣簡單175F 01/12 09:00
推 stja: push176F 01/12 09:00
推 Tamama56: 推177F 01/12 09:01
推 druid0214: 感嘆y大，讚歎y大178F 01/12 09:01
推 druid0214: 無窮小個無窮小當然不是零  因為趨近於零就不是零
→ druid0214: 打錯 無窮個無窮小
→ druid0214: 機率在八卦版討論不知道幾次了  去翻歷史文章
推 doom3: 寫程式時x99=100; 卻有人跑來問99為啥等於100一樣 XDD182F 01/12 09:05
推 jackie0804: 推183F 01/12 09:06
噓 OppOops: 沒看到Riemann zeta function, 重寫(x)184F 01/12 09:06

我爛QQ
推 b25459870: 弱弱問 為什麼1/3=0.3185F 01/12 09:06
推 druid0214: A大  跟觀測沒關係  數學是定義和推導出來的186F 01/12 09:07
→ druid0214: 所以即便是在另一個規則的世界  只要這樣定義結論一樣
→ druid0214: 樓上b大  那是0.3循環  上一行有打底線
推 daniel890503: 你在認真什麼189F 01/12 09:09
推 PierYu2151: 就算不懂也要裝懂 推190F 01/12 09:09
推 ms0472677: 林北文組，看到弦理論雙膝一軟就跪了191F 01/12 09:09
噓 Transfat: 跟八卦酸民浪費生命幹嘛192F 01/12 09:11
→ zax8419: 原來用手機看 循環記號會錯位.....193F 01/12 09:11
推 mocca000: 這篇文充滿熱情 一早看這篇感覺滿好的194F 01/12 09:12
→ zax8419: 然後我文章一開始就有說 （3）的證明很不嚴謹...195F 01/12 09:13
推 liupoyip: 快推 不然..196F 01/12 09:13
→ zax8419: 也不想打太多更深的東西怕我自己也看不懂....197F 01/12 09:15
推 b150427: 看完了，推198F 01/12 09:15
推 cloudwolf: 還蠻有趣的啊 這比課本內容要有趣多了199F 01/12 09:16
→ zax8419: 還有我也有說大多的自然科學而非全部200F 01/12 09:18
推 TitanEric: 推 看得懂耶201F 01/12 09:19
推 handsomecat3: 說到級數，你應該提到一個有趣的正確結果：202F 01/12 09:19
推 joesmile: 不行 文組表示這麼白話還是看不懂!!!203F 01/12 09:19
→ handsomecat3: 一個收斂(但不絕對收斂)的級數可經由重排收斂到任意204F 01/12 09:20

高微第四章
推 power1106: 有看沒有很懂捏205F 01/12 09:20
推 CIIIO: 看到一半直接end了206F 01/12 09:21
→ handsomecat3: 實數。如：1-1/2+1/3-1/4+1/5-.....207F 01/12 09:21
→ tinglottery: 這裡一堆文組 不用多言208F 01/12 09:22
推 cospergod: 推 易懂209F 01/12 09:22
推 heart9677: 工程近似又不是每個人都需要做理論計算210F 01/12 09:23
→ SunSky0126: 一直文組來文組去的版友是哪招啦XDDDD211F 01/12 09:24
推 liquidnero: 好長  先推212F 01/12 09:26
推 colenken: 先推, 等下再看213F 01/12 09:27
推 chenyeart: 上班看這個醒腦啊！推好文！214F 01/12 09:27
推 zhoyo99: 理工類組來說  比起數學家物理學家215F 01/12 09:28
→ zhoyo99: 工程師最不嚴謹
推 hellomotogg: U質科普217F 01/12 09:28
推 fr373969: 推218F 01/12 09:31
推 a54081438: Q1的證明三有誤，1/3=0.333是你要證的結論，你把它拿219F 01/12 09:33
推 a54081438: 來當假設了
推 ch25998850: 推科普221F 01/12 09:36
推 clotpao: 跟我想的一樣222F 01/12 09:36
推 princepisces: 那方便說明一下物理學家的觀點嗎 現實那方面符合 有223F 01/12 09:36
→ princepisces: 什麼關鍵字能查嗎
推 bopanda: U質文推推225F 01/12 09:37
推 canis831025: 雖然學過了考試考了也會寫，但我永遠不懂0.999……這226F 01/12 09:37
推 orange7x7: 推推227F 01/12 09:37
→ canis831025: 種一定有差的數字會變成1，他再怎麼無限也頂多很接近228F 01/12 09:37
→ canis831025: 不可能一樣…數學家覺得一樣還蠻詭異的
推 punkdog: 這幾題的確經典  之前認真研究過230F 01/12 09:38
推 kiawe: 推文章231F 01/12 09:39
推 george40516: 考慮修個微積分= =232F 01/12 09:40
推 pizzy: 魯妹果然文組QQ233F 01/12 09:41
噓 frankshyu: 紅明顯，寫的不錯，但給絕MATLAB那邊有點引喻失義234F 01/12 09:42
推 a54081438: 另外，不會發生代表機率為零，機率為零不代表不會發生235F 01/12 09:42
推 a54081438: ，詳細自己google，你才文組
推 frankshyu: 因為一般人也不懂float是怎麼存的，舉出來可能更困惑237F 01/12 09:43
推 tree85: 文組end238F 01/12 09:45
噓 depwrd470100: 高中數學239F 01/12 09:48
推 saisai60: 推科普XDDD240F 01/12 09:49
推 nick066699: 推241F 01/12 09:50
推 Comebuy: ???????????????242F 01/12 09:51
噓 s93015a: 原來數學是自然科學243F 01/12 09:55
推 miahegia: 先推免得別人以為我不懂244F 01/12 09:55
推 machinle: 會覺得這篇是高中數學的，只能說太淺還是別出來讓人笑245F 01/12 09:56
→ machinle: 有理數個數和無理數個數的比較，你用高中數學來處理?
→ machinle: 連高中數學都沒學好還出來秀?

大學數學要拿有理區間套去定義實數完備性
但這裡打這些有點.....無趣....
推 super223351: 大推248F 01/12 09:59
→ MaBumblerQQ …
推 MaBumblerQQ: 嗯嗯 快推喔免得被笑看不懂249F 01/12 09:59
推 overbabo: 這是一篇充滿和平的歧視文組的文章，讚250F 01/12 10:00
推 jeromeshih: 推，這個厲害251F 01/12 10:01
→ auir: 數理的東西本來就充滿假設，也是可以推翻的，看誰說的有理而252F 01/12 10:01
→ auir: 已
推 hesashiaaron: 推254F 01/12 10:02
推 SunSky0126: 因為沒學過吧？如果理組的都學過這篇也是頗恐怖的XDD255F 01/12 10:03
→ SunSky0126: DD
推 lyellow: 推推257F 01/12 10:03
推 joseph000666: 先猜文組看不懂258F 01/12 10:07
推 f22313467: 你哲學系？259F 01/12 10:07

數學系
噓 m1314213: 害我便秘260F 01/12 10:08
推 ruby02162000: ！！！竟然是學弟，太強惹，雖然我沒看完XDDD261F 01/12 10:10

Hi學姊～
噓 ccleosh: 什麼時候變數理板了262F 01/12 10:11
推 jodawa: 這篇好酷263F 01/12 10:11
推 a2001555: 我居然看完了...264F 01/12 10:11
推 sunshinepemi: 喜歡 有趣265F 01/12 10:11
→ dixieland999: 不錯，跟我想的差不多266F 01/12 10:14
→ dimw: 極限是新概念 正常人第一次遇到不需要急著去理解他267F 01/12 10:15
→ dimw: 先認識和運用 等到看的東西夠多了才能體會到他定義的內涵
推 happy27727: 推 複習一下269F 01/12 10:15
推 kaojet: 嗯嗯，說的有道理，可是我直接end270F 01/12 10:16
推 nn3356: 腦中飄過高中老師上課內容XD271F 01/12 10:18
推 flushwing: 先推再看272F 01/12 10:18
推 ljislovej: 優文273F 01/12 10:20
推 HMKRL: MATLAB那邊…其實電腦存浮點數不會有小數點XD274F 01/12 10:20

我承認我這裡沒讀好it's
推 coutji3184: 推 我喜歡275F 01/12 10:21
推 piliwu: 看不懂是國高中數學差，什麼組沒關係276F 01/12 10:23
推 xvmon123: -1/12那個是Riemann zeta解析研拓來的 用加的感覺怪怪277F 01/12 10:23

要解釋zeta(-1)到大家看得懂可能要寫兩倍吧QQ
而且也不會想看了.....

用加的超怪但國中生也看得懂
推 xvmon123: 的278F 01/12 10:23
推 Tassatul: 1-1+1-1+....這個用廣義的極限定義可以看成有2個收斂值279F 01/12 10:25
噓 neverfriend: 抱歉但是自然科學也都是人定義的280F 01/12 10:27
推 oskarsson: 我是很好奇...10個0.9為什麼是9.9...281F 01/12 10:27
推 maderfucker: 推個282F 01/12 10:27
推 summersky20: 嗯嗯 跟我思路一樣283F 01/12 10:30
→ RicciCurvatu: (3)哪有爭論不停?就黎曼函數在複平面可拓展成全域函284F 01/12 10:30
→ RicciCurvatu: 數帶入-1即得。那個證法就只是好玩而已基本上非絕對
→ RicciCurvatu: 收斂的數列你可以用類似方法去證他等於任何數，但這
→ RicciCurvatu: 種事情就只是用錯的方法去證對的事。

這樣寫就變成數學物理系小圈圈了
更看不懂就更沒有人想看了QQ
推 Doracacazin: 在裙子掀起來之前 你無法確定是不是NO胖288F 01/12 10:35
推 eterbless: 這一篇文章值 1000 Ptt幣 在這種地方你太認真了...289F 01/12 10:37
推 kaliblues: 文組的我表示看不懂QQ但是你說的李白那句，在文學理論290F 01/12 10:38
→ kaliblues: 上也是有類似說法(突然想到XD
推 dnkofe:                     _                            _292F 01/12 10:44
→ dnkofe: 我覺得奇怪的是10x=9.9,這應該是錯的吧!應該是10x=9.98
→ dnkofe: 抱歉,說錯,應該是10x=9.90
推 dnkofe: 剛剛第一段的應該是2x
推 LDY97: 推296F 01/12 10:46
推 a7569813: 推一下297F 01/12 10:55
推 gold97972000: 因為他是循環小數阿298F 01/12 10:55
→ gold97972000: 0.9999999.....  x 10 = 9.999999.....
推 abc88049: 看懂認同給推300F 01/12 10:56
推 jellyoyo: 數學系幫推301F 01/12 11:00
推 vis64: 我只是進來看看為什麼有奶圖的，大家繼續302F 01/12 11:09
推 jiungwen: 趕快推，不然別人以為我看不懂303F 01/12 11:09
推 Cervelo1995: 推304F 01/12 11:12
推 dante45678: 看不懂還是要推305F 01/12 11:14
推 gghost1002: 推306F 01/12 11:15
噓 l95566: 無聊307F 01/12 11:20
推 kkk007: 理工人，推一下~308F 01/12 11:20
推 Jupiter1129: 這不是常識嗎?309F 01/12 11:22
推 j022015: 好文耶 讚310F 01/12 11:23
推 silentence: 極限問題的微妙處就是在這311F 01/12 11:28
噓 alex01: 你只是用這套系統，這樣哪能稱之為不能取代....312F 01/12 11:28
推 jilcc: 推一個313F 01/12 11:32
推 gareth43: 推~314F 01/12 11:33
推 LargeLanPa: END315F 01/12 11:34
推 h2o1125: 推啊 本來就是相減就可以得證了316F 01/12 11:36
推 Violence5566: 還好我念工程的 數學只是工具317F 01/12 11:37
推 tges92095: 哈哈推318F 01/12 11:44
→ zax8419: 再微回應一下 我非常清楚大家說的證明上的錯誤319F 01/12 11:44
→ zax8419: 但我寫這篇的想法也一直都只是讓不擅長數學的人知道
推 jason83813: 嗯嗯 跟我想說的一樣321F 01/12 11:46
→ zax8419: 而非寫出100分的證明 如果硬要套很多很難的數學符號322F 01/12 11:46
推 tim1234: 數學系只好吃屎了 自以為很厲害其實只是把東西變複雜323F 01/12 11:47
→ zax8419: 那直接開書單叫大家看黃色磚塊就好了@@324F 01/12 11:48
噓 tim1234: 換一個學工程的 看到有人把簡單的東西變複雜會不不忍直視325F 01/12 11:49
→ zax8419: 樓上 更嚴謹的證明 跟變複雜是兩回事@@326F 01/12 11:50
推 windwind: 這就是 科爾蘇加德的貓 ！327F 01/12 11:55
推 selvester: 工具可以是石頭當槌也可以是電動鍛刀槌 工具可以被發展328F 01/12 11:55
推 Prano: 化學系路過，我們才不會像你們那麼刁鑽XD329F 01/12 12:00
推 eayterrr: 最討厭這種類似證明題的東西了 不過感謝分享330F 01/12 12:00
推 iscl6: 趕快推，不然別人以為我看不懂331F 01/12 12:00
推 iq1000x: 高一的回憶332F 01/12 12:02
噓 WJAider: 0.1 在電腦的表示方式應該是錯的?333F 01/12 12:02

寫的時候沒有查資料 應該是有錯
推 selvester: 一邊無窮發散 一邊常數收斂 就算知道它是對的 也找不到334F 01/12 12:05
→ selvester: 自己滿意的解釋 因為總有另一個數學家反對 完備不了
推 e1q3z9c7: 等等 無限既然沒有上限 何來「所有XX>所有XX」？336F 01/12 12:05

那是另一件事啦XD

不太直觀但有趣
→ selvester: 說錯 不是解釋 是嚴謹證明  都30年過去了337F 01/12 12:06
推 ckgjeff1990: 看完這篇早晨直接醒腦338F 01/12 12:09
推 bbbgggttt999: 很有趣但是豆頁好痛ww339F 01/12 12:11
推 greenpeter: 認真回文推340F 01/12 12:14
噓 Qe098149001: 數學是形式科學，不是自然科學吧341F 01/12 12:14

如果單純用二分法歸類的話應該偏自然科學吧

不想分太細
推 johnyang: 我這個人很簡單 有貓我就推342F 01/12 12:15
推 gomidonnsine: 嗯嗯…跟我…想…得一樣！343F 01/12 12:17
推 henrylin8086: A這個級數我好像上次證過XD344F 01/12 12:25
推 Lheavens: 淺顯易懂，好！345F 01/12 12:26
→ fraser0136: 貓貓QQ346F 01/12 12:28
→ depwrd470100: 某樓sorry我也不知道為啥我高中教過微積分~教過的都347F 01/12 12:33
→ depwrd470100: 一樣你怎說不能處理
推 chuiszt: 認真推349F 01/12 12:34
推 depwrd470100: 補350F 01/12 12:35
推 leograss: 頭好痛351F 01/12 12:38
推 kusami: 淺顯易懂 讚 薛丁格XD352F 01/12 13:01
推 tsengchih: 對 跟我想得差不多353F 01/12 13:14
推 piggy921: 先推免得別人發現我看不懂354F 01/12 13:15
推 tom50512: 講中文就可以囉355F 01/12 13:16
推 cosx: 頭痛給推356F 01/12 13:55
→ aortic: 文中舉例胡搞發散級數的是物理，但不知為何最後卻提社科?357F 01/12 13:56

應該說研究方法不同
也該說兩件事的受詞搞錯了
推 kevin60405: 閱畢，收穫良多358F 01/12 13:58
推 a850401000: 公三小359F 01/12 14:05
推 sfejo3dj: 推 可是看完就忘了QQ360F 01/12 14:05
噓 hanmas: 弦論跟自然界存在怎麼扯上關係的？361F 01/12 14:05

呃 近期不是有找到弦論跟平行宇宙的關係嗎？

可能我多想了吧
推 tony22725385: 講中文362F 01/12 14:06
※ 編輯: zax8419 (101.14.81.20), 01/12/2017 14:58:54
推 henrylin8086: 不過第三個例子需要注意，在數學上極限有惟一性，363F 01/12 14:29
推 henrylin8086: 所以一般數學研究者不太會認同1/2這個答案，不過在
推 henrylin8086: 工程與物理學界出現1/2是可以接受的，不接受的話量
推 henrylin8086: 子力學也不用玩了
推 ararthur: 精彩 淺顯易懂!367F 01/12 14:31
推 okajimatt: 推一下368F 01/12 14:49
推 coaka: 推推369F 01/12 14:52
推 positMIT: 推370F 01/12 14:58
推 hellowonder: 高中觀念到大學怎麼都不一樣惹R371F 01/12 15:06
推 jacky7987: Sum(-1)^n可以用Cesàro來看是有的 只是物理還不知道柄372F 01/12 15:08
推 jacky7987: 什麼是用這種收斂法 只要找出物理那邊的原因 數學這邊
推 jacky7987: 是可以試圖是支持的
推 jacky7987: Zeta如果可以解析拓到z=-1的話是-1/12 可惜拓不過去QQ
→ hanmas: 弦論連怎麼設計一個實驗驗證這個理論都算不出來  好意思說376F 01/12 15:21
→ hanmas: 自然界存在?  那是個數學不嚴謹實驗不支持的神奇領域
推 tommy86114: 推112378F 01/12 16:14
推 yuinena: 文組看不懂啦Q口Q379F 01/12 16:36
推 john2227kn: 薛丁格的理論380F 01/12 16:41
推 isisss: 看不懂先推@Q@381F 01/12 16:41
推 PeikangShin: 某d真的好笑，趨近跟相等永遠分不清楚...，P(X=x)=0,382F 01/12 17:03
推 PeikangShin:  有人會寫做P(X=x)→0?, 原來P(X=x)是數列，你要不要
推 PeikangShin: 要看一下弱大數法則的型態，那才叫機率收斂...有誰
推 PeikangShin: 講過機率等於0不代表不發生，中山大學羅夢娜教授提過
推 PeikangShin: ，你可以寫信去跟他說那叫趨近於0
推 henrynIl: 推推推387F 01/12 17:49
推 xxxxx271828x: (3)的解釋有點錯，應該是利用複變的方法做連續性延388F 01/12 17:55
→ xxxxx271828x: 伸得到
→ xxxxx271828x: https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&app=
Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation - YouTube How a certain perspective on what the Riemann zeta function looks like can motivate what it might mean beyond its domain of convergence. One month free audib...

 
→ xxxxx271828x: desktop391F 01/12 17:55

我的證明目的是為了得到-1/12這個答案
(我知道在數學上有明顯瑕疵)

但是礙於這裏不是專版 也不是每個人都學過複變 zeta函數等等

真的不想用大家都看不懂的方法 也讓大家覺得數學很可怕....

所以我這篇文章 基本上是設定在高中數學程度可以看得懂的
                                (即便是有瑕疵的證明)

如果真要連非本科的都理解 那可能文章長度將會是2倍以上(且只談一件事)

那....就會被直接end了.....

而且加深對數學的恐懼QQ

推 noitcidda: 一個數只會有唯一一個值 1跟0.9循環不算一個值吧?392F 01/12 18:37

這兩個值相等啊
噓 jhhhjs: 數學是自然科學？393F 01/12 18:52
推 backpacker18: 推394F 01/12 19:07
噓 HarryJ0601: 你的bar bar錯地方了吧 為什麼是在0不是9嗎@@395F 01/12 19:33
噓 HarryJ0601: 我說（1）0.9循環=1那邊

應該是因為你用手機看吧 我自己用手機看也會跑掉
推 enchigu: 推推397F 01/12 19:53
推 vcyc: 推 可惜文組不懂398F 01/12 19:56
推 switzerlands: 後面好有趣啊 大推399F 01/12 21:20
噓 B9830226: 不是所有數學家都相信有無限400F 01/13 02:03
噓 B9830226: 在電腦科學處理0.1+0.2已有更好的處理方法
→ B9830226: 要說是自然科學又要套無限的概念?

(1)我完全沒有修改到那部分噢 我一直指的是部分數學家

(2)至少最新版的MATLAB是會有誤差吧......我沒有去瞭解每個工具的背景真的很抱歉QQ

(3)大家真的好糾結在自然科學跟數學噢.....

其實我的本意是要講文科跟理科 或自然組社會組 (二分法)

但是這樣很怕會開戰成戰文組理組(在八卦版太敏感)

所以選了一個不精確也不正確的詞彙 跟大家說聲抱歉

※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/13/2017 02:43:36
推 abcd991276: 數學系推個 雖然高微修的很爛403F 01/13 12:01
噓 xz35s8pq: 所有有理數個數 < 所有無理數個數  哪個地方教的?404F 01/13 12:50
噓 xz35s8pq: 另外妳真的認為無限+1大於無限?
推 PeikangShin: ...樓上，你是認真的嗎? 你要不要看一下大一數學導406F 01/13 14:44
推 PeikangShin: 論提到的可數集，不可數集，和勢XD
推 s9994540: 文組的直接END我看不懂408F 01/13 15:24

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