远在中古时代，就产生了自然数的概念，印度人对数学最大的贡献之一就是引进了符号“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”来计数。正是由于有了数的合理记法，对于数的研究才能够代代相传。尤其是近百年来，人们创立了一个漂亮的数学分支：数论。比零大的正整数统称为自然数；它共有三类。：即1（民间常说的大佬，无人敢与其争锋）；素数（素数也叫质数，只能被1和其自身整除的数，比如5，7，11， 19等），合数（可以被1和自身以外的某个自然数整除的数，如9，16， 20）。

欧几里得用漂亮的反证法证明了素数的个数有无穷多个。记得我在80年代初选修丁石孙的初等数论课时，被他完美的讲课风格和欧几里得伟大的证明所折服，在当时的老二教的上课时光现在还历历在目。

素数在自然数中的分布很奇妙；从公元前三世纪开始至今，吸引了众多数学家的不懈努力。公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275一前193）为了研究这个问题，提出了一个叫“过筛”的方法(the Sieve of Eratosthenes)简称埃氏筛法，造出了世界上第一张素数表，就是按照素数大小排成的表。比方说把一张超大的纸放在沙滩上，然后把自然数按其大小一个一个写上去；然后按下列法则把合数挖掉：

从这个古典的方法中人们可以观察到，素数的分布随着N的变大，变得越稀疏。比如1到10之间有2，3，5，7 四个素数；100之内有25个素数，1000之内有168个素数，100万之内有78498个素数。 大量数值试验显示， 当N变得很大时，在1到N之间素数的个数和N的比值变得很小。那么严格的数学刻画是什么呢？

革命性的变化发生在1859年。 1859年8月，时年32岁的数学家黎曼(G. F. B. Riemann) 向柏林科学院提交了一篇8页纸的论文，题为“论不超过一个给定值的素数的个数”。在这篇论文的中，他把素数点数和所谓的$\zeta$函数建立了联系，这一联系推动了解析数论的发展；文章中提出的黎曼猜想给数学家们带来了比素数分布更大的挑战。时至今日，在经历了150多年的认真研究和极力探索后，这个仍然悬而未决。关于黎曼猜想的最权威的科普文章，可以见科普高手卢昌海的《黎曼猜想漫谈》。

卢昌海的大作从2010年底在《数学文化》上连载。科学院的王元院士看后非常欣赏。有幸和元老在海淀区知春路上的一个西餐馆吃过一顿饭；其间他对卢昌海的文笔、以及卢对黎曼猜想的深刻理解赞不绝口：“一个学物理的能把一个这么艰深的数学问题写得如此透彻，真是太不容易了。”之后卢昌海要把文章集结成书时，叫我代请元老写序。一周后，我收到老院士亲笔写的10页纸的手稿。

美国作家约翰· 德比希尔（John Derbyshire）根据黎曼猜想的提出和可能的应用，写出了畅销书《素数之恋——伯恩哈德· 黎曼和数学中最大的未解之谜》。在这本《素数之恋》中，作者用明晰的笔法，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，再次展示了素数的魅力。

虽然黎曼没有给出关于$\pi (N)$ 的具体结果，但他为在黑暗里奋斗的素数分布研究指明了方向。正是沿着这个方向，1896年，法国数学家阿达玛(J. S. Hadamard)和比利时数学家普桑(Charles Jean de la Vallee Poussin)几乎同时独立地证明了素数定理。差不多半个多世纪后的1949年，塞尔伯格(Atle Selberg)和爱多士(Paul Erdos)给出素数定理的初等证明。前者因此工作以及对筛法的改进获得了1950年的菲尔兹奖。

现在回到孪生素数。孪生素数是指差为2的素数对。前几个孪生素数分别是（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）， （29，31），（41，43），（59，61）等。一般来说，如果p 和p+2 都是素数，则（p, p+2)就叫做孪生素数。100以内有8个孪生素数；501到600间只有（521，523）和（569，571）两对。 更大的孪生素数还有，如（5971847， 5971849）。不过，可以观察到孪生素数的分布也是极不均匀的， 并且也是越来越稀疏， 与素数相比，还要稀疏得多。

于是人们又开始猜想了：有无数对孪生素数。但没有人确切地知道究竟有多少对。到2009年8月6日，已知最大的孪生素数为 $2003663613 \cdot 2^{195000} \pm 1$，这两个数都有10万多位。

上世纪最伟大的数学家大卫· 希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出了著名的23个重要数学难题和猜想，其中孪生素数问题是希尔伯特问题的第8个的一部分，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p与p+2同为素数；而素数对 (p, p + 2)称为孪生素数。数学家们相信这个猜想是成立的。1849年，法国数学家波利尼亚克（（Alphonse de Polignac，1817–1890）提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p, p + 2k)；其中k = 1的情况就是孪生素数猜想。

另外，比较罕见的是这篇文章的审稿人也自报身份：此文的证明被著名的数论专家伊万尼克（Henryk Iwaniec）严格检查。波兰裔的美国数学家伊万尼克被公认为当今最顶级的解析数论专家。他对张益唐的工作赞不绝口：“结果太美了。”（His result is beautiful.）

张益唐的文章到底做了什么？他给出了和上面介绍的波利尼亚克猜想紧密相关的一个命题的证明。他证明了存在无数个素数对(p,q), 其中每一对中的两个素数之差，即p和q的距离，不超过七千万。

张益唐的文章基于加州圣荷西大学（San Jose State University ）的戈德斯通（Daniel Goldston）小组于2005年发表的文章。一般来说，随着数的增大，素数间隙也越来越大；也就是前面说到的越来越稀疏。但戈德斯通的研究小组证明了，即使在很大的数中，仍然存在紧邻的素数。要直接把戈德斯通的方法应用于孪生素数问题却有很本质的困难。这个困难被张益唐巧妙地克服了，他说他是去年夏天的7月3日在科罗拉多州朋友家的后院里聚会时突然开窍的。  

张益唐在2013年5月13日在哈佛展示了研究成果。他的证明看起来运用了一些常用的数学技巧，以至于有些人质疑他是否真的正确。但是《数学年刊》审稿人高度评价说：“这项研究是第一流的，作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理。”（The main results are of the first rank；the author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers.)

刚刚卸任《数学年刊》主编职务的普林斯顿大学教授彼得• 萨纳克（Peter Sarnak） 对《纽约时报》说，张益唐的观察很深邃（It's a deep insight)、结论很深刻（It's a deep result）.