看板 Gossiping作者 co766543 (天厭)標題 Re: [問卦] 如何證明1+1=2時間 Tue Sep 15 00:50:41 2015
注意！！文長！！
大家好，小弟數學系魯蛇
數學看起來是一門既深澳又沒三小屁用的學問
每個數學系的人都會被問到：你出來是要當數學老師嗎？(幹！我不能去711打工逆？
所以藉著這次1+1=2的冷飯，順便讓大家能稍微了解一下數學系所學以及思路
所以當數學系的學生被問到1+1=2如何證明時，下面的步驟應該是數學系學生的起手式，
同時也是數學證明的基礎學問
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一、所謂1+1是在哪一種背景下的1+1？在這種背景下1+1的意義為何？
也就是說，你所謂的1+1是以自然數為背景的1+1，還是有理數、複數、整數等等(注1)
在不同的背景下，意義、答案、證明方法皆有不同
舉個例子：如果今天背景(A)只有兩個數 A=｛0、1｝，而A是一個體(field)
則1+1=0 (先去了解field的定義，再用反證法得證)
回頭看前文的一些敘述，包含1的下幾個元素(elements)或是提到的皮亞諾(Peano)公理或
是公設
這些敘述就是以正整數(or自然數)為背景
這個背景是可數的(countable)同時也是一個order set(簡單來說就是裡面任兩個元
素可以比大小)
那麼1+1的意義是 [比1大的"下個"(next)元素] 同時我們定義這個元素叫做2
特別強調一點是"下個"為何不寫成"下一個"，因為這些背景是可數的，當我們遇到有些集
合(set)是不可數的時候，"下一個"的意義變得很模糊，而"next"的概念不再存在(下面還
會講到這個)
而皮亞諾公設則是確保了2屬於正整數(or自然數) (此為結論)
講的白話一點，就是說我們在前幾行定義的那個元素2屬於我們正在探討的背景，也就是
正整數(or自然數)
在更白話就是 [2他真的存在耶] (撒花)
所以來點小結論：
1、 2是1的下個數字(1+1的意義，然後我們說"1+1"這個元素是2)
2、 2的確存在(2的確在我們討論的事實範圍內)
注1：
正整數：1 2 3 4……
自然數：正整數聯集0
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靠杯！！不是證明完了嗎？
當然還沒呀!你是瞧不起9.2還是覺得根號2不存在！
我們活在的這個世界還是存在著9.2呀!!(我的意思是有理數、無理數等等)
我們要正視9.2存在的問題(靠杯…歪了…)
我們自然所熟悉的是其實是實數(real number system)
無論高中、國中小數學的基礎大多都建立我們接下來要講的實數系
二、在實數的系統下，1+1=2怎麼證明？
我先公布答案：不用證明！！
原因是，實數具有［完備(completeness)性］，在這個性質下1+1=2是自然就成立的事情
！！
我們從上面的結論來做延伸
1、1+1在實數下的意義：
沒錯，又來了，1+1不就是1這個元素的"下個"元素嗎？
錯！如果2是1的下個元素的話，1.5哪去了？ 1.25呢？ 1.125呢?
實數是完全不同的系統，是不可數的，如同上面講的，"下個"的概念不見了
所以1+1到底是什麼？
前面幾篇文章也有提到所謂的"實數線"，所以來一條線
____________________________________________________________
這條叫做實數線
實數線上有個原點叫做0(或是我們說加法單位元素)
____________________________________________________________
↑
這裡是0
數學家說要1(乘法單位元素)，於是就有了1
_____________________________________________________________
↑ ↑
這裡是0 這裡是1
好！重點來了，"+1"是什麼？
就是1這個元素往後走"一定距離"的那個地方(點)，"+1"的"一定距離"就是［0到1中間的
距離］
_____________________________________________________________
↑ ↑ ↑
這裡是0 這裡是1 這裡是1+1
然後我們就把1+1的那個點叫做2
如此也會有1+0.5=1.5 1+0.25=1.25等等
現在1+1的概念有比較清楚了
所以下一個問題就是1+1，也就是2到底屬不屬於實數
2、1+1=2屬於實數嗎？
答案是1+1=2的確屬於實數
原因就在於實數具有［完備性］
也就是說，我只要有一堆數字越來越接近2，而且這堆數字都屬於實數的話，2也屬於實數
(此為結論)
之前上面的理論都沒證明，但是這個理論我會稍為敘述證明的思路
所以如何證明R(實數)具有完備性，證明如下：
1、(R,+,‧)是一種體(field)(裡面就包含了乘法、加法單位元素還有運算規則)
2、(R,+,‧,≦)是一種order field(如此一來實數可以比大小)
3、(R,｜．｜)是賦距空間(metric space) (這樣就有距離的概念了)
4、任一柯西數列在(R,｜．｜)的空間下收斂
5、上面那行收斂的那個數屬於(R,｜．｜)
這樣(R,｜．｜)便是完備的空間
另外有些人說我定義的實數跟他定義的實數或許不一樣呀！
最後還有一個定理就是只有實數是完備空間，也就是說如果我們定義出兩個看起來不一樣
的空間，但是都具有完備性的話，那兩個空間只是符號不一樣，意義跟運算方式都一樣。
以上這五點加上最後的定理要證明的話，大概就要花個十幾頁吧，而且我還沒寫中間要經
過兩個等價定理Least-upper-bound property跟Monotone sequence property
但是概念差不多是這樣
小結論：
1、 1+1的意義就是1加上［0到1之間的距離］的那個點，也就是2
2、 2的確是實數的一部分，因為實數具有完備性
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OK！只想看結論的看這裡
如果討論的背景是正整數(或是自然數)的話
1+1 就是 1的下一個數字，也就是2
因為有皮亞諾公設，2也屬於正整數(或是自然數)，所以1+1=2
如果討論的背景是實數
1+1 就是 1加上［0到1之間的距離］也就是那個叫做2的點
因為實數有完備性，所以2也屬於實數，所以1+1=2
以上的敘述就可以很方便的推定到2+1=3 3+1=4等等等
所以1+1=2定不是單純的定義，但也不是需要證明的東西
在種種公設、定理下，1+1=2比較像是一種必然性質
所以如果問：「1+1=2怎麼證明？」就代表數學跟你大概是無緣了
類似的問題到了數學系上的考試就會變成：試證實數系統具有完備性
在此希望「1+1=2怎麼證明？」這個問題就此打住
說真的，沒有任何數學系的人想要深究這個問題！沒有任何人！
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太多人誤會了
1+1=2這件事情"絕對不是定義"而已
定義這種東西大家都可以來玩，今天有人要定義2+2=5(致敬某短片)，那2+2=5就是它的定義
只是這個定義既不是好的定義，也沒有任何實質上的幫助
如同說一個蘋果加上一個蘋果多少蘋果
如果是一大一小的蘋果呢？兩個重量不同的物品能相加嗎？顏色有不同的物品能相加？
如果我今天把大蘋果叫蘋果，小蘋果從此改名叫做果蘋，那還是兩個蘋果嗎？
所以我說定義大家都能定，絕對不是［就只是定義呀！］這麼簡單的
再把上述的第一個例子提出來
一個裡面只有0跟1的集合，你可以定義1+1=0或是1
但是如果你定義1+1=1
那這個定義在很多方面會有矛盾的現象，導致這種定義毫無用處
但是如果定義1+1=0
那如同上述所說，他符合"體(field)"的定義，同時也有很多好的性質
甚至在很多生活方面，這樣的定義是有意義的
甚至在代數的某些角度，這樣的集合比自然數性質更好
但是無論如何，這個集合裡沒有2，所以不論你怎麼定義1+1都不會是2
這也是為什麼我們要確定有個數是2，而且2也屬於我們探討範圍裡面
所以我再重申一次!!
1+1=2絕對不是因為他是定義
而是因為無論實數或是自然數，都有一些很好的性質在背後運作
因為這些性質的運作，1+1自然而然就是2
而這個2是我們上述探討意義上的2
如果你今天硬是要把符號3跟符號2對調，然後說1+1=3
但是那個3還是上述所說的 1加上［0到1之間的距離］的那個點
所以不要再說：「1+1=2就只是定義呀！！」
因為我從今以後要定義「1+1=2就只是定義呀！！」等類似的話都是廢話！！
廢！話！
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最後了，還是要替數學系講些話
每每跟人說我是數學系的，總會聽到下面的問句：「你以後是要出來當老師嗎？」
是的，我們學出來的東西的確大家看不懂，看似沒有用
在商店買東西的確用不到微積分、走路也不用算距離
但是無論是大家家裡的手機電腦(離散數學)、地圖導航(圖論、代數)、刷卡匯款(數論、
密碼學)、法律(邏輯)等等，都有數學家在背後才能成就的
數學家看似在枝微末節上鑽牛角尖，但實際上是在用最沒有例外、最嚴謹的角度去解釋我
們的宇宙
數學家看事情非常全面，源於數學證明需要有已知(資訊)，然後利用邏輯還有各種不同的
等價條件(也就是不同角度)，才能完整的證明一個定理
在生活上，我們也會收集資訊，運用邏輯與不同的角度解決問題
對於一個在數學系延畢的人來說，我的確對各種定理運用或是一堆專有名詞懵懵懂懂，但
是我在數學系學到解決問題的方法還有看事情的角度
所以希望大家以後遇到數學系的學生別再問「你會證明1+1=2嗎？」或是「你以後要當老
師嗎？」這種蠢問題！！！！！
請直接問：「你願意當我的男/女朋友嗎？」(<3)！！！！！！
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※ 同主題文章:
Re: [問卦] 如何證明1+1=2 (結論更新)
09-15 00:50 co766543.
推 mylo: 你以後要當老師嗎？2F 09/15 00:52
老實說...這篇真的想滿久的
推 z5582143: 你數學系？
結果往上翻真的是數學系。4F 09/15 00:53
推 yoyodiy: 我文組的數學不太好 但我知道最小的質數是06F 09/15 00:54
推 shizuo: 太屌了…!推!!!13F 09/15 00:58
→ hinajian: 挑個蛋骨 你第一個field拼成filed了14F 09/15 00:58
感謝 已改
推 ianpig2: 趕快推以免別人以為我看不懂15F 09/15 00:58
=w=算是鑽牛角尖吧XD
數學還有太多東西還沒被證明
證明完就會變成定理
也或許是人類的聰明才智真的有限
沒辦法什麼都證明出來
推 ERT312: 兔草一下自然數不管有沒有包含0，都不是體(field)19F 09/15 01:00
遭糕，這裡忘慘了XD
明天早上再起來惡補一下
惡補完再來改
體公設...看來我書沒讀好:p
改好了
噓 craig100: field 翻成場就輸了 他是體 跟物理的場沒有任何關係22F 09/15 01:03
Sorry 已改
推 guocw3: 以前我小6的數學老師(導師)也逼我們證明 寫不出來就打23F 09/15 01:03
※ jameskey:轉錄至看板 Math 09/15 01:03
→ followwar: 你說的都是懂數學的資工系神人在做的XD24F 09/15 01:03
也不是啦XD
就只是有數學的基礎在裡面
推 joehuan: 代數的field翻成體喔26F 09/15 01:05
感謝 已改
推 ayenliou: Yo大太神啦 不愧是破解rar的人28F 09/15 01:06
推 saiulbb: 太專業了 對不起我直接END QQ29F 09/15 01:07
推 silvermare: yoyodiy太神啦 不愧是破解rar的人30F 09/15 01:08
→ wiydluck: 提問 有一個數無法在某進制下整除 何種進制可表達31F 09/15 01:08
這...我可能...會放棄??
推 BENNY49: 你媽會叫你幫她算菜錢嗎？34F 09/15 01:12
我真的很會算...錯
推 spinlol: 對不起我只看到了END36F 09/15 01:13
推 kuromu: 不是field37F 09/15 01:13
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:30:14
推 edison06: 數學系淚推 這篇才真的要上新聞42F 09/15 01:22
先趕快幫我挑錯誤吧!!
有錯上還新聞好丟臉ToT
推 MyersLi: 豪猛阿，第一次看八卦長知識44F 09/15 01:23
推 Ponderer: 講那麼多，自然界根本沒有2（以及3、4...）51F 09/15 01:28
推 pk90027: 乾~這篇太專業了 不推不行53F 09/15 01:32
我!不!要!
推 iceyeman: 淦...我看完惹.....55F 09/15 01:36
推 error123: 我...我沒有按END呢！57F 09/15 01:40
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:48:53
推 KweParker: 覺得慘...我完全忘記了.. 不敢說是數學系58F 09/15 01:43
推 PF30: 幹，以前我老師也講過1+1=2聽起來像廢話，但解釋起來要花一節課，說不要浪費大家時間了
今天第一次看到有人解釋，總算理解以前老師講的了65F 09/15 01:49
我可是花了半學期才學到這裡ToT
(又花了兩年才真的搞懂...
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 01:50:33
推 alvidan: 推 認真的數學系解題74F 09/15 02:05
噓 THH: 不要助眠好不好75F 09/15 02:07
推 mikeneko: 你把我上高微証complete的一連串過程勾起來了76F 09/15 02:07
哇哈哈
有苦大家受 有難大家享呀
推 alchem: 超猛給個推78F 09/15 02:11
噓 jjelm: 專版79F 09/15 02:12
推 iuo: 數學系路過... ： countable ordered80F 09/15 02:12
推 yeh0216: 上高偉時他也說過,要證明1+1=2可以寫三面黑板81F 09/15 02:13
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:25:22
推 tales1216: +U 多開發點好用的工具給我們電機系用 穴穴82F 09/15 02:15
09/15 02:21
→ iuo: 好懷念高等微積分課 回憶湧上心頭 thank u85F 09/15 02:22
感謝 已改 英文頗差XD
每個數學系學生心中都有一門高微XD
※ 編輯: co766543 (114.32.188.38), 09/15/2015 02:31:53
推 HuntBear: 1+1=2也可發這麼長的文 真是不簡單88F 09/15 02:31
噓 BBQ2591: 一個蘋果再加上一個蘋果等於兩個蘋果 就這麼簡單95F 09/15 03:04
噓 molunptt: 幹太長了 直接end (撒花96F 09/15 03:09
噓 jackilee: 蛋營養的高微.....好課值得一修再修98F 09/15 03:16
推 x710142857: 雖然我也不是很懂，不過這篇文章的邏輯真的怪怪的，當然說不定是我搞錯了XDD。就在下所知，數學家是為了解決ordered field完備性的問題而建構了實數。
所以實數本身就具有完備性。因為他就是為了完備性而建造的。我覺得這樣說比較自然，原文裡事先有了實數再去看完備性，這樣其實挺不自然的....
比較自然的思考順序應該是1.零和一 2.自然數 3. 整數4. 有理數....然後人們發現很多奇怪但不屬於有理數的數，像是pi和根號二，為了說明這些數到底是從哪來的然後建立了一個包山包海，具有完備性的系統，那就是實數。至於由有理數所建構出具有完備性的系統是唯一的，那就是另外的故事囉XDD259F 09/16 21:00
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