本文涉及暈眩、想睡、左轉...諸多副作用
慎入
一、前言
文章分成兩個部分《期望值》、《無窮級數》解釋那篇的爭議。在這之前，先看我們最初
的問題：如果前幾張抽到糞卡，那之後抽卡會不會很難追平？而corpsekiwi大提到：
一開始若你投出的是負（就如首抽只抽一張），約有60％機率在未來30抽也無法翻正。
（此假設抽白金+1，抽非白金-1，白金與非白金的機率各是1/2）同時他提出了：距離原點的期望值會出現在 +- (2n/π)^0.5，整篇腥風血雨就來了...
後來推文整個歪串啦！還涉及之前新聞沸沸揚揚的1+2+3+4... = -1/12以及其他無窮級數後來思考了一段時間知道怎麼打這篇...
再來必須要先提及的觀念是：數學語言是一種量化感覺的工具
也正是因為每個人感覺不同，才會需要定義。難怪蠻多人問原PO的"60%、80%"這些機率
承上段所述，就是每個人感覺不一樣，所以才會有各種統計值，像是期望值、平均
、標準差、關係係數...超多這種機率統計的數值，說穿了就是量化讓大多數人都能接受
的"感覺"，但一樣的，感覺因人而異，所以才會定義出各種統計值。
（舉個例，平均數--總和除以總數--是很早就有的概念，普遍覺得這樣定義平均就夠了
確實，但如果我是在乎大多數人表現的老師，平均數的定法就很合我胃口了，為何還
需在意挑出那個人？但今天如果我是在乎每個學生的，我就會加看標準差。）
總之就是人為定出的各種統計值，人各有所好的選擇適合自己的量化方式，因為再怎麼
樣都會跟實際狀況有出入，現實發生的事情太奧妙了，諸如：
強者我同學的西遊戰隊、連6沐月、連7玉兒、討論串苦主奶爸12連發金卡....
二、正文
《期望值》：討論corpsekiwi提到的公式
參考aardvark的reference http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walkRandom walk - Wikipedia, the free encyclopedia
![[圖]]()
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A random walk is a mathematical formalization of a path that consists of a succession of random steps. For example, the path traced by a molecule as it travels in a liquid or a gas, the search path of a foraging animal, the price of a fluctuating stock and the financial status of a gambler can all b ...
![[圖]](http://i3.disp.cc/t/s/upload.wikimedia.org/wikipedia_commons_thumb_d_da_Random_Walk_example.svg_420px-Random_Walk_example.svg.png)
![[圖]](http://i3.disp.cc/t/s/upload.wikimedia.org/wikipedia_commons_thumb_0_05_Flips.svg_800px-Flips.svg.png)
![[圖]](http://i3.disp.cc/t/s/upload.wikimedia.org/wikipedia_commons_thumb_7_7c_Random_walk_2500.svg_280px-Random_walk_2500.svg.png)
首先聲明你如果是純數學系的可能會不舒服，因為我如果寫的讓你舒服那大部分人都會
不舒服...所以機率論裡面的可測空間、可測函數、函數的定義域well-defined這些細節
牽扯到實變數函數論的background，我會用比較平易近人的方式盡量解釋
不舒服...所以機率論裡面的可測空間、可測函數、函數的定義域well-defined這些細節
牽扯到實變數函數論的background，我會用比較平易近人的方式盡量解釋
我們從實數線上0點開始投硬幣（flip the coins），頭向上（head on）往右走（+1）
頭向下（head down）往左走（-1），假設這是公平硬幣，+-1的機率各是1/2，那如此
一直投，有沒有可能預測他的行為？
頭向下（head down）往左走（-1），假設這是公平硬幣，+-1的機率各是1/2，那如此
一直投，有沒有可能預測他的行為？
這是一維隨機漫步（One dimensional random walk）的經典模型，corpsekiwi也是引用
這個，而sad010質疑說他的式子是二維的case我覺得是看錯了，你應該是看aardvark
所給的相同wiki連結，它確實是在講一維的模型，只是插圖有二維情況，這部分應該是你誤會corpsekiwi了
令隨機變數Z（就是個函數）定義為：Z = { 1 , head on （白金！）
{ -1 , head down （幹！30~40魂）
投第一次（抽第一張）稱為Z_1，之後一直投，就有Z_1,Z_2,...Z_i
n
接著定義S_n = Σ Z_i 想成是投n次後的移動結果（這邊會有函數well-defined的問題原
i=1 因在於母空間其實沒那麼簡單，略）
再來根據期望值定義（只考慮離散隨機變數）：
一個離散隨機變數X的期望值E(X) = 每個發生的值*每個值發生的機率
因此，我們可以輕易得到E(S_n) = 0 對於所有的n，也就是眾版友覺得不管抽幾次，
期望值都是0。
{ 1 , if 上上下、上下上、下上上 機率3/8
{ -1, if 上下下、下上下、下下上 機率3/8
{ -3, if 下下下 機率1/8
因此E(S_3) = 3*1/8 + 1*3/8 + (-1)*3/8 + (-3)*1/8 = 0
這根本不用算因為對稱相消，也是為何E(S_n) = 0的原因）
至此，你可能會有一個問題：那幹嘛算E(│S_n│)？這樣感覺就夠了阿？
因為從試算看到，正負是抵銷的，我們看不到抵銷掉的部分，而如果算了E(│S_n│），也就是corpsekiwi所說的與原點的距離，那所呈現的值約略的告訴我們所落的位置
舉例如果E(│S_1000│）= 50000，那投1000次大約就是在+50000或是-50000，而不會是死板板的E(S_1000)是0。
經由中央極限定理與常態分佈函數的瑕積分，我們得到：
E(│S_n│) ２
lim ───── = √（──）
n→∞ √n π
亦即n很大的時候，√n乘到右邊去，就是corpsekiw的那個式子。
最後我覺得蠻有趣的是，wiki提到：這個模型一直下去的話，每個整數點都會經過無限次
而應用在神魔的語言，假設抽卡機不會被抽完，5石一抽，抽到白金會幫你加5石，抽到非
白金會扣5石，則不管你起始有多少魔法石（畢竟是有限的），則一定在有限次數n你石頭
會抽乾，原因正式在於這模型會經過0點無限多次，而遊戲規則就是走到0就結束了。
白金會扣5石，則不管你起始有多少魔法石（畢竟是有限的），則一定在有限次數n你石頭
會抽乾，原因正式在於這模型會經過0點無限多次，而遊戲規則就是走到0就結束了。
（不然會變成負魔法石，違規帳戶唷^.<）
期望值就講到這了
《無窮級數》：討論1-1+1-1....、1+0+1+0....、1+2+3+4.....
到底發生什麼事其實我蠻訝異為何會扯到這個XDDD，是不是在argue說期望值不會是真正情況？
本來期望值只是人為定出的值，期望嘛！不要太高XDD
接著就是這組問題：1-1+1-1... = 0 or 發散 (a_n = (-1)^n的級數)
1+0+1+0... = 1/2 or 發散 (略)
1+2+3+4... = -1/12 or 發散 (a_n = n 的級數)
答案很簡單：不一定，照定義啦幹
很多人會選後者因為最初接受到極限的概念是：
a_n是一個實數數列，我們說a_n收斂如果滿足：
存在一個實數L使得"任給ε>0，存在正整數N_ε，使得當n≧N_ε時，│a_n-L│<ε"
而級數本身是從某個數列建構的，也可以套用收斂的定義。因此基於這個定義下，答案
是後者無誤，那到底前者是來沖煞洨？想必很明顯了...就是不同定義阿！
n
以上述的數列a_n造出級數 Σ a_i，以原來收斂定義的話，我們定義：
i=1
n
a_n的級數收斂 if s_n = Σ a_i收斂 （很明顯s_n就是一個新數列）
i=1
但是我可以定義不同的收斂性，而有前者結果正因：用原本的收斂定義來定出Cesaro收斂
如下：a_1+...+a_n
a_n的級數收斂到L如果 c_n = ────── 以數列定義收斂到L
n
自己算算看，前兩者就是這樣算來了，而藉由定理：
a_n數列收斂則其級數Cesaro會收斂至相同值
因此有時會說Cesaro收斂是較廣義的收斂
最後第三個1+2+3+4....，是比較特殊的case，他的cesaro不管幾次都是發散的
那-1/12到底怎麼來的？弦論的書上也有這條阿！
∞ 1
首先我們藉由p級數審斂法知道：對於所有的複數s，當│s│>1時，Σ ─── 收斂
n=1 n^s
而運用解析延拓的方式，可以造出一個唯一的解析函數定義在整個複數平面扣掉s=1那點
且在│s│>1時的長相正是原本的級數長相，而這個延拓函數ζ在-1的值正是-1/12
所以...這單純只是把-1"不正常"的代入到"不該代"的地方，導致這個誤會...
如果你疑惑為啥那種異常的算法確可以算出ζ(-1)=-1/12，反正錯^n有天也會對XDD
其實神魔跟數學息息相關呢（？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.108.82
※ 文章代碼(AID): #1L06a2WI (ToS)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/ToS/M.1426090242.A.812.html
推 : 你真的很煩XDDDDDD1F 03/12 00:11
欸 很辛苦耶(／‵Д′)／~ ╧╧ 我當時用手機看到討論串都快高潮了
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:12:39
推 : 我吐了2F 03/12 00:13
推 : 先推 免得被別人說看不懂...3F 03/12 00:14
→ : .....看完真的頭好暈怎麼辦4F 03/12 00:14
→ : 對不起我end了5F 03/12 00:15
推 : 怎麼辦呢? 好痛苦,你還是發安多的攻略文可以嗎6F 03/12 00:15
推 : 根本睡前好文!!給...zzz7F 03/12 00:15
推 : 對不起 可以說中文嗎?? Orz8F 03/12 00:16
推 : End9F 03/12 00:16
推 : 有沒有懶人包阿 為什麼明明是中文我卻都看不懂 冏10F 03/12 00:17
推 : 生活處處是數學11F 03/12 00:17
推 : 抱歉 我需要一句話總結…因為我看不懂QAQ12F 03/12 00:17
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ 懶人包喔.....
1. #1K_b2s_a 中 corpsekiwi給的沒有錯，只是他要描述一下那些趴數怎麼來的
2. 1-1+1-1..., 1+0+1+0...., 1+2+3+4.... 究竟是多少呢!?
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:19:36
推 : 對不起13F 03/12 00:18
推 : @@14F 03/12 00:19
推 : 說中文阿你!!!!15F 03/12 00:19
→ : 1-1+1-1.....不是應該-0.5嗎?16F 03/12 00:21
推 : 最後一個SIGMA裡面沒有i欸看不懂QQ17F 03/12 00:21
謝啦XDD <3
推 : 喔~ 原來如此18F 03/12 00:23
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:24:00推 : XD19F 03/12 00:24
→ : 我以為來到統計版20F 03/12 00:25
→ : 多打個個負號@@ 是0.5啦@@ 還是我記錯了?21F 03/12 00:25
沒吧 是0呀
推 : 媽～我在這裡(￣▽￣)22F 03/12 00:25
噓 : 我覺得原文那樣算是沒錯，但是原PO套入"好運與否"的概念我覺得很荒謬就是了
痾我指的是原原PO23F 03/12 00:27
痾我指的是原原PO23F 03/12 00:27
如果他要講好運與否並且引入統計值 那就"定義"什麼叫好運 不然這樣做半套的根本
無法討論...
→ : 我只想玩神魔阿...26F 03/12 00:28
我玩得也是神魔呀!!
→ : 畢竟抽卡這種東西又不是+1和-1，抽倒垃圾永遠都-527F 03/12 00:28
推 : 我要失眠了28F 03/12 00:28
→ : 抽整組龍隊和大聖妲己我就不知道要算+多少了XD29F 03/12 00:29
現實情況真的太複雜了 很難量化
而且神魔真的每張卡機率都一樣嘛? 懷疑阿XDDD(不算特別加倍)
只要有強者我同學 我就不相信統計
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:31:45
推 : (*￣▽￣)/‧☆*"
'*-.,_,.-*'"*-.,_☆.30F 03/12 00:30推 : 所以我認為數學上正確，但以此來分析神魔很荒謬31F 03/12 00:30
推 : 百推內32F 03/12 00:30
→ : 其實很直觀 假設白金非白金都各50% 你一開始就吃屎(負)33F 03/12 00:31
推 : ~@@34F 03/12 00:31
→ : ↑已知 後面當然很難凹回來35F 03/12 00:31
推 : 猛推推 雖然我看完前言就End了= =36F 03/12 00:32
→ : 把他想成貝氏定理更直觀了(雖然不是這樣用)37F 03/12 00:32
推 : 也謝謝這篇讓我有一趟愉快的數學之旅 (?38F 03/12 00:32
推 : 認真給推.......但我END了對不起39F 03/12 00:34
→ : 而且我認為不適合以此分析的原因有兩個 1.魔法石有限
2. 你抽齊夠好的卡，其實後面抽怎樣也無所謂了40F 03/12 00:34
2. 你抽齊夠好的卡，其實後面抽怎樣也無所謂了40F 03/12 00:34
是阿 而且還要算重複的...抽到重複就不算好卡了...
所以真要建模 還要給每張卡加權值 甚至還要考慮當周關卡是抽哪張卡比較好破
會打這篇是當初那篇下面的推文一整個大亂鬥....
推 : W T FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF42F 03/12 00:35
推 : 快推阿不然別人以為我看不懂43F 03/12 00:35
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:37:10推 : 看不懂啦44F 03/12 00:37
推 : 謝謝這篇讓我可以一夜好眠45F 03/12 00:37
推 : 認真給推 不過決定一切的還是server端的程式碼(菸46F 03/12 00:38
→ : 就是因為這些情況下，原原PO還喊出XX%的機率在OO抽裡很難翻正，這樣的結論讓人無法接受，而不是這式子本身XD47F 03/12 00:39
我其實想了很久他的X%無法翻正是什麼意思...
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:40:52
→ : 看不懂 懶得仔細看.....49F 03/12 00:41
推 : 看不懂 但是覺得好專業XD
下次寫太專業的東西記得寫結論唷^.<50F 03/12 00:45
下次寫太專業的東西記得寫結論唷^.<50F 03/12 00:45
其實這蠻多要先把原PO與推文的大亂鬥講的東西打出來 才會導致篇幅略長...
結論也可以下說：不要吵啦！！ 大家都是好碰友
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:49:10
→ : 看到一半頭在痛了52F 03/12 00:48
推 : 我居然看得懂....XDDDDD53F 03/12 00:48
推 : 就跟銅板一樣 不好猜阿54F 03/12 00:49
推 : 以最近雖然白金聯發但我已經連15張重複了....55F 03/12 00:50
→ : 1+2+3+...=-1/12 這我居然看得懂XD56F 03/12 00:50
阿肥哥那段我在想要怎麼講比較明顯 原本想說造個簡單的函數舉例不過我覺得會更恐怖
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 00:51:30
推 : 看了三句就排斥到想吐，但專業給推XD57F 03/12 00:51
→ : 快拿去隔壁安慰落榜考生58F 03/12 00:51
推 : 感覺很厲害...59F 03/12 00:52
推 : 嗯 推薦這篇 030
其實我覺得是cor君那篇文章省略太多東西啦
乍看之下真的蠻容易讓人誤解60F 03/12 00:55
其實我覺得是cor君那篇文章省略太多東西啦
乍看之下真的蠻容易讓人誤解60F 03/12 00:55
推 : End 但好奇沒有每張卡的機率怎麼算期望值？喜歡+1討厭-1？63F 03/12 00:56
所以只能假設...model本來就是從最simple開始建立啦
不過就算我們有確切MH設定的資料 實際上的情況還是千變萬化
→ : 但我覺得在母體樣本數夠大的情況下其實她跟其他玩家沒有差別，可以討論看看當抽卡數量少 (無刻金或微課金)
他追上其他玩家的機率，不過這她媽的又要討論現實
每張卡的抽卡機率 所以我看還是喜喜睡XD64F 03/12 00:57
他追上其他玩家的機率，不過這她媽的又要討論現實
每張卡的抽卡機率 所以我看還是喜喜睡XD64F 03/12 00:57
→ : 無法定義"追上其他玩家"，所以我想討論也是沒結果XD68F 03/12 00:59
對阿 說不定對愛雪來說每抽到一張光妹就贏一大步了
又或是對於西遊滿天飛的強者我同學來說 他根本不想要西遊..
→ : 欸 也對...XD 除非把每張卡的價值做一個量化69F 03/12 00:59
→ : 至少我是比較認為"每一次抽卡的是新的開始"
去評斷之前幸運與否沒啥意義，有地獄倒楣鬼也有否極泰來70F 03/12 00:59
去評斷之前幸運與否沒啥意義，有地獄倒楣鬼也有否極泰來70F 03/12 00:59
推 : 快推阿不然別人以為我看不懂72F 03/12 01:00
→ : 你撇開已知抽卡造成的條件來說 當然是重新開始囉XD
但COR那篇的期望值是指最後你會得到什麼東西73F 03/12 01:00
但COR那篇的期望值是指最後你會得到什麼東西73F 03/12 01:00
→ : 就像我槍哥三連發之後就海底撈月抽到那個You know who75F 03/12 01:01
→ : 當然整體來說期望值會是負的..因為他一開始就抽不好惹XD76F 03/12 01:01
推 : 這就跟po文得到推噓通常不是0類似 因素都掌握在寫文的人手上77F 03/12 01:01
→ : 是要KNOW什麼XDDD79F 03/12 01:01
→ : 不..我覺得他那篇的定調是，你前面抽爛了後面就很難翻回80F 03/12 01:02
推 : 可以問問題嗎81F 03/12 01:02
→ : 但討論現在和未來幸運與否，卻把過去的不幸也討論進來82F 03/12 01:02
→ : 給磨神，所以我才說COR用詞沒很精準XD 這篇是幫他闡述83F 03/12 01:03
我有問題(舉手) 磨神不是你嘛@@?
→ : 他表達的真正意思XD84F 03/12 01:03
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.108.82), 03/12/2015 01:06:28→ : pbga16請說，我可以告訴你小老虎萌萌還有愛雪愛伊登85F 03/12 01:03
→ : 照慣例 臭86F 03/12 01:04
推 : 原原po是否質疑 MH讓某些帳號抽不到好卡？ 一個Vip的概念87F 03/12 01:06
→ : 幹 ▍
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看 █▊
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推 : 原po是我的前床友我來幫他衝人氣，我最愛火巫惹99F 03/12 01:09
有病就要看醫生
推 : 看都看不懂249F 03/12 12:05
噓 : 看不懂啦 早知道先左轉惹250F 03/12 12:14
→ : 現在銀卡會出啥阿?妖精/精獸外@@?
同學現在反而希望看到銀卡 我的可以給他嗎=w=251F 03/12 12:15
同學現在反而希望看到銀卡 我的可以給他嗎=w=251F 03/12 12:15
→ : 銀卡還有EJ龍253F 03/12 12:18
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(znmkhxrw.): [心得] 期望值與抽卡 回應 #1K b2s a 整篇 - K_hot板