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作者 zax8419 (不要查我哎批嘛Q)
標題 Re: [問卦] 強迫人接受0.999...=1算不算是一種歧視??
時間 Thu Jan 12 06:26:23 2017

%補充一點前言
%此篇文章用了很多非精確的證明及方法
%於數學上必然有瑕疵
%不用很精確的證明及數學符號的目的在於不要讓大家留下數學都看不懂的印象
%也盡可能沒有把話說死
%若要很詳細的解說 可以去專版 or開書單
%這邊所用的方法大致上應該是高中生能看得懂的
%至於由於不想讓大家把焦點放在文組理組 我選擇使用"社會科學""自然科學"的二分法
%造成大家看了不甚滿意 我感到很抱歉QQ

             _
%如果想詳述0.9=1 的更深的理由 可以從有理區間套去構造實數的完備性
%前面的文章有 概念不難 但看了豆頁絕對會痛
%如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數
%看完就懂了 但前提是要看得完且看得懂QQ

%另外我打這篇文章也只是想賺一點p幣
%所以在寫的時候沒有去查一些資料 可能造成了一些錯誤QQ

%然後 真的沒有要戰文組理組QQQQQQQQQQQ

(文超長.....)

兩個即便有了答案 但仍然常見の數學問題
     _
(1)0.9=1 ?
(2)∞有多大 ?

一個至今還在爭論の數學(?)問題

(3)1+2+3+4+.......= -1/12 ?


這其實是一個自然科學跟社會科學&文學很大的區別

文科的發展是從文化而來 隨著社會的發展而有所改變

在一個階段之後 可能就不會有一個"標準答案"

誰也不敢保證當初李白寫詩心理的想法跟如今的闡述完全相同

甚至當今很多拿來考試的文章 重新詢問該作者 也是得到不同的答案


但 這也不代表社會科學及文學沒有其存在的意義(沒要開戰的意思Q_Q)




反之 自然科學則是在討論任何事 大多都會佐以詳細的背景及證明

就如同這兩個問題一樣

      _
(1) 0.9 = 1 ?

若要詳細敘述他

首先要確認他在哪個環境(群or體)下

再去考慮該環境下的定義


於是乎 可以產生很多很多證明

如同之前許多篇文章也有提到方法

(ㄧ)
        _
  x = 0.9   .........①
        _                           (此處有循環符號!!)
10x = 9.9   .........②
                 _     _
②-①==> 10x-x=9.9 - 0.9 = 9x =9
          _
==> x=1=0.9



(二)

令a_n= 9 * 10^(-n)

於是

a_1= 0.9

a_2= 0.09

a_3= 0.009

......

所以 根據等比級數
 ∞          9*(1-1/10^n)       9/10-9/10^n
 Σ  a_n = _________________= _______________= 1  (∵9/10^n=0)
 n=1           1-1/10           9/10                 if n------>∞

(另外要證明有上界)





(三)
            _
因為1/3 = 0.3
                    _         _
所以1/3 * 3 = 1 = 0.3 * 3 = 0.9


這三種 當然在數學系的眼裡 (一) (三) 都相當不嚴謹

但是對於一般學生 是個比較好理解且直觀的方法



至於我自己如果要解釋給別人

會這麼說





(四)

在一條數線上 兩數相等意味著兩個點是同一點(應該沒有爭議拉)
                                          _
那 在一條實數線上有A,B兩點 分別是A(1) B(0.9)

所以這兩個點是同一個點嗎?

--->是    則兩數相等
--->不是  則找出A,B兩點的距離  ------>距離為零    則兩數相等
                               ------>距離不為零  那可以去發表數學論文了
                                            (如果推導全部沒錯 那就真的可以了)

             _
所以結論為 0.9 = 1







那如果要打破砂鍋問到底

就寫個Q&A吧

Q1: 關於方法(一) 10x 跟 x 的小數點後面不是應該差一個0.000.....0009嗎?

A1: 因為循環小數這個符號 就意味著無窮無盡 所以不會有盡頭



Q2: 他們之間不是會相差 0.0000......00001嗎?

A2: 0.0000......000001 這不是一個數字(如果他是一個數字 則他等於0)
    一個數字 是只存在唯一一個值的



Q3: 那原因是什麼?

A3: 因為我們如今生活中常見的是"10進位"

    在之前的文章中 也有人提到 在程式中 0.1+0.2 ≠ 0.3 (可以很簡單用MATLAB試試)

    這個原因則是因為電腦都是採用"2進位"


    所以當你輸入"0.1"這個數字時

    程式內是將這個數看作0.00011001100110011...00110 (有盡頭)

    而"0.2"這個數字

    則是0.0011001100110011...01100(有盡頭)

    那"0.3"這個數字

    則是0.0100110011001100...10011(有盡頭)

    所以 "0.1 + 0.2" = 0.010011001100......10010
    但   "0.3"       = 0.010011001100......10011

    就會發現在最後尾數有所差異
                   _
    而這個問題與 0.9 = 1 的決定性差異就在與"有盡頭"

    但也不要怪電腦笨 為什麼要有盡頭

    因為如果沒有盡頭 當你用程式打0.1+0.2 時 電腦會跑到死(記憶體有限)

    這也是為什麼人類不可能被電腦完全取代的原因

    因為電腦無法在實務上真正處理"無限"的問題 而人類可以

    所以與二進位的討論差不多 "十進位" 在這個問題下 就會產生這樣的現象







(2) ∞ 有多大?

這個問題比起上一題就簡單得多了

因為∞這從來都不是一個數字！！

如上題Q&A 的 A2 說的

一個"數字"必然只有唯一一個值

但∞代表的是"要多大有多大"

也就是說比你想到的任何一個數字都還要大

既然是一個如此不定的量 所以他就不符合"存在唯一一個值"

所以∞不是一個數 他只是一個符號!!


但∞也是有量級之分的

如同整數有∞多個 有理數有∞個 無理數有∞個 實數有∞個

但 所有整數個數 = 所有有理數個數 < 所有無理數個數 = 所有實數個數

但這就不多談了XD





(3) 1+2+3+4+..........= -1/12

這個等式也是至今仍然爭論不停的問題

那先來看一個比較淺顯易懂的證明           這很重要
                                         ↗
令A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ..........(沒有盡頭)

那我們可以將A改寫成

A = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....................)
                    ↘
然而可以發現  括號中的東西剛好等於一開始的A

所以可以寫成 A = 1 - A

再根據簡單的國中數學 知道 2A = 1  ,  A = 1/2

那再來看另一個值

令B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ...........(沒有盡頭)

把它寫歪一點 然後相加

 B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +............(沒有盡頭)
 B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -............(沒有盡頭)   (+
_____________________________________________________________

2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +............(沒有盡頭)
   = A = 1/2

==> B = 1/4


然後看最後一個值

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +............(沒有盡頭)

把它跟B寫在一起 然後相減

 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +.......(沒有盡頭)
 B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +.......(沒有盡頭)  (-
_______________________________________________________
S-B=     4     + 8     +12     +16 +.......(沒有盡頭)
   = 4(1 + 2 + 3 + 4 +......)
   = 4S

同樣的 根據簡單的國中數學

==>S-B = 4S
==>3S = -B = -1/4
==> S = -1/12

這就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........= -1/12 的由來

但為何至今仍然頗受爭議呢?


簡單而論就是第一條式子

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..............(沒有盡頭)
  = 1/2
這件事

只要有學過數列的定義 一定會碰到所謂的 "發散數列" & "收斂數列"

然後非常顯而易見的是 A 是一個在0 ~ 1 之間震盪的"發散級數"

所以不可能會有值

然而一開始即將他視為 1/2 是個極其荒謬的數學錯誤

既然一開始就是錯的 那接下來的步驟當然都沒有意義了R  ← 部分數學家這麼想

BUT!!!!!!!!!!

這個結論居然跟弦論裡很重要的黎曼函數的特例一樣

並且其結果存在於自然界中

所以結果當然是沒錯啊 難不成是自然界的BUG?           ← 部分物理學家這麼想


所以還是很多人在爭論拉


一樣來個Q&A
    m       m(m+1)             ∞           ∞(∞+1)
Q1: Σn  = -------  不是嗎?  那Σn 當然等於--------- 才對啊 怎麼可能是-1/12
    n=1       2                n=1              2
A1: 首先 上面這個公式是只適用於"有限"的數 但∞根本不是一個數 所以不成立

    再者 照直觀來看 任何結果都不會是結果 因為他的值比你想到的任何數都大

Q2: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -........=1/2 什麼的 要怎麼用物理解釋?

A2: 比較好理解的想法 是"機率"的概念(但如果考試寫機率 絕對錯)

    舉例是這樣的

    現在有一個燈 在一開始是亮的

    但過了0.5秒後 就關了

    再過了0.25秒後 又開了

    再過了0.125秒後 又關了(傲嬌屁)

    按照這個規律 每過一半的時間就改變它的狀態

    那麼....開始計算後完整一秒

    燈會是亮的還是暗的?



    或許我們看不出來 所以就說他是亮1/2 這樣




    另外也分享一個小故事

    曾經有個虐貓的人

    在一個密閉小箱子裡放了一隻貓&一個毒氣桶(or能殺死貓的任何東西)

    然而不知道是從哪裡知道的 反正他說

    "這隻貓在某段時間內啟動了毒氣桶而死的機率是1/2"

    於是在真的過了某段時間後

    虐貓人說了一句 經典的話

    "只要我打開箱子 就能確認貓死了沒
     但是在我打開箱子觀測前 這隻貓屬於半死半活的疊加態!!"

    所以 我們也可以大聲的說

    "在確認最後一個是+1 還是-1前 這個值就是半1半0的疊加態!!"
                                ( 又是1 又是0 又疊加 >////<)




結論:

這三個問題 在未來仍然會不斷被拿出來講(無奈)


也回到前言 自然科學會有嚴謹的證明 再來確認他的正確性
                                        (剛剛證明的1+2+3+....其實不嚴謹)
           社會科學則是以觀察&統計分析 來討論

兩者都有其優點 當然也有其缺陷

所以如果回到最原始的主題
            _
強迫不認同0.9 = 1的人去接受 算不算歧視?


不算 在嚴謹並精確的證明後 這是個可以被完美證明的事實

如果不接受 可以考慮修個微積分



或者 告訴大家 到底兩數差了多少吧





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推 candog: 推1F 01/12 06:28
推 jj1379746: 嗯嗯跟我想的差不多，看來我有112的資質2F 01/12 06:28
推 Danto18: 我想問所以1.99...也等於2嗎? 2.99...也等於3嗎?3F 01/12 06:32

           _         _
對啊沒錯 1.9 = 1 + 0.9 = 1 + 1 = 2

推 harry901: 雖然很認真的回  但我覺得MATLAB的部份不應該拿來寫4F 01/12 06:32

就...解釋一點原理吧@@

→ ODFans: 看到數學系就直接End了5F 01/12 06:33
→ Danto18: 還是只能0.99...等於1其餘不能類推6F 01/12 06:33
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:34:37
→ harry901: 實際上你在MATLAB輸入0.2+0.3就會=0.5 或許您解釋的不善完美  我知道你要說得東西 不過  那段文字不大清楚
十進位造成大部分鄉民無法瞭解的意含是重點  但MATLAB的計算  其實遠比問題本身的概念還差很遠  XDDDDDDD7F 01/12 06:33

那邊主要是想說有限跟無限的概念拉

然後在之前的文章裡也有推文說這件事

就順便講了

→ harry901: 然後  社會科學跟自然科學這部份論點 鄉民值得深思11F 01/12 06:36

※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:37:51
→ harry901: 這東西很TRICK的呢～樓下您說呢12F 01/12 06:37
推 youtu5566: 一早讓我看這個，是不想讓我好好吃早餐嗎？13F 01/12 06:37
推 Dorapedia: 任何有限小數都可以寫成兩種形式
例如5.32=5.31999999...14F 01/12 06:38

偷偷說 這不是兩種形式噢 是同一種

→ Dorapedia: 然後推這篇優文16F 01/12 06:39
→ harry901: 形式是數論定的  形式不會影響真理17F 01/12 06:39
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:40:19
→ harry901: 但並非任何形式都可寫成   囧我好像在傳教18F 01/12 06:39
→ Dorapedia: 那個1+2+3+4+...其實一開始就是假定發散數列也可以對應一個值
發散級數才對…19F 01/12 06:40
推 harry901: 發散的東西  99%都沒有值得討論得點  剩下來的1%更是
垃圾  重點在於要發不發那種東西才討人厭
好比百家樂 我大你一百萬 你大我兩百萬 大來大去好可怕然後就是  ...  三個點點點  我有發文  恩  這同一個東西  即使你5.32=5.31999...
在討論那的級微小的事物之前  數學界是沒有極限
而物理界是有極限的  就是粒子  這也是兩界爭議話題
然而文組大部分偏向：1就是1 2就是2   所以開戰22F 01/12 06:42
推 xeriof95092: 你再要求我接受 我就要去告你強制罪喔 氣噗噗30F 01/12 06:50
→ harry901: 樓上  那你不要接受1+1=2
這東西有趣的很  數學界就是那樣  物理界拿來用
一部分認為OK  用的爽  一部分認為要改  也用的很爽
剩下的少部份就是死也不承認的31F 01/12 06:51

求求你們別開戰R Q_______Q
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 06:55:04
推 ACHANEW: 一大早的豆頁好痛阿～～推優文35F 01/12 06:54
→ DCHC: 數學只是工具，不要拿工具來玩。36F 01/12 06:54
推 harry901: 對不起  我只是想炒熱話題  我向95092道歉 我知道他是反串  XXDD37F 01/12 06:56
→ SunSky0126: 要開戰的是你吧……好吧八卦這類人不少……39F 01/12 06:56

我真的沒有要開戰的意思Q_Q

→ DCHC: 至少替中學生們著想，不要讓學生覺得學習數學很痛苦。40F 01/12 06:56

把這些當科普挺有趣的R
→ harry901: 然後最後就是  數學人:1=0.999...  物理人:1=\=0.99941F 01/12 06:57
推 xeriof95092: 前幾篇太多人不接受啦 也看不出來是不是反串...42F 01/12 06:58
→ harry901: 其後物理人又用了點1=0.999.9..   這大概是我總結吧43F 01/12 06:58
推 xeriof95092: 1=0.999.9.. <-這個我第一次看到 覺得新奇44F 01/12 06:59
推 harry901: 數學物理常常表來表去不EY  PHYSICS版多看就知道了
但不會比文組裡組  高中高職  戰的那麼嚴重45F 01/12 07:01
推 snowrain: 推 長知識 但"寫歪一點"本身就有問題了 同發散數列謬誤47F 01/12 07:02

大錯在前 後面的對錯已經毫無意義了啊~
推 SunSky0126: 文理八卦最愛（摸鼻48F 01/12 07:02
→ harry901: 舉一個明顯CASE數學人:小明體重35KG000  物理人會說
你少加了力量單位  體重應該是KGW  所以是35KGW49F 01/12 07:04
推 SunSky0126: 淨重？！51F 01/12 07:05
→ harry901: 然後文組此時出現：大家不要吵 都台灣人      (戰52F 01/12 07:05

XD 我喜歡這個
推 r09270003000: 文組湊熱鬧53F 01/12 07:05
→ SunSky0126: 這好嚴重www54F 01/12 07:05
→ harry901: 更正前推文  35KG000  是35KG  後面三個0不知怎麼出現ㄉ55F 01/12 07:06
推 abc21086999: 這高中有教56F 01/12 07:07

高中有教不代表會 會了不代表記得
推 Dorapedia: 然後開始有人吵是台灣人還是中國人57F 01/12 07:07
推 SunSky0126: 還有估計值……58F 01/12 07:07
推 harry901: 然後皇民會出現 ㄉ  是臺灣片假名  很多26不懂59F 01/12 07:08
推 ccs9631: 最後一段不是薛丁格的貓嗎？60F 01/12 07:13

不是 是虐貓人
推 remprogress: 專業推61F 01/12 07:14
推 ConsumerHD: 先推 不然別人以為我看不懂62F 01/12 07:15
推 shiauji: 又出現早起認真文 推個63F 01/12 07:15

噢不對 是沒睡(攤)
推 kinuhata: 推無限的概念 很多人常常誤用∞這個符號64F 01/12 07:16

趁機補充一點點

∞是代表最大嗎? NO

因為如果∞是最大 那(∞+1)>∞ 那無限大就不無限大了
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:21:11
推 sujes: 深入淺出，好文65F 01/12 07:16
→ WINDHEAD: 恩 你混淆了蠻多概念 不過念在是八卦版面就不計較了66F 01/12 07:16

我打到一半也發現XD 但意思到就好
推 iamgaylan: 我文組啦 這三小 我只會九九乘法表67F 01/12 07:17
推 yannicklatte: 供三小68F 01/12 07:20
推 shiauji: 另外1 & -1 那邊要用1x2的矩陣 or ket 表示會比較嚴謹些69F 01/12 07:20

用ptt打矩陣好麻煩QQ
推 doraemon8709: IP正確70F 01/12 07:20
推 nedetdo: 為什麼一大早要逼我讀書71F 01/12 07:21
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:24:11
推 tigernaxo: 頭好痛…72F 01/12 07:22
推 vn509942: 推73F 01/12 07:22
推 whynotwhy: 大感謝 大推74F 01/12 07:23
推 lecheck: 我之前就覺得第三題很好解 重點不是運算 而是數列內的元素內含數列序號的資訊 當年挪移是 序號被改變了 實際上不等同挪移前的狀態
打錯 是當你挪移時75F 01/12 07:23

我明白 但單就結論與過程的討論而言(屏棄過程不可取)

結論在弦論裡面是正確且可備運用的的

過程在數學中是不嚴謹且瑕疵的

所以還會開戰@@
推 harry901: 戰吧  越戰越強79F 01/12 07:28
→ ScorpioLight: x=0.9那10x應該是9.0為啥會是9.9？？80F 01/12 07:28

那個地方的循環符號錯位了QQ 感謝發現
推 lecheck: 要論證也很簡單 那個數列的定義明明就是1，n+1 從中間任何一個地方插入0 即時值相當 但結構就被破壞了 而數列的運算必須以結構的完整為前提81F 01/12 07:29
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:32:32
推 eric2057: 先推 不然別人以為我看不懂84F 01/12 07:34
→ Jay0924: jppt只能看到0.9=1嗎85F 01/12 07:35
推 sate5232: 一有問題吧，10x不是9.0嗎，怎麼會是9.986F 01/12 07:35

有改好了QQ
推 brian0211: 露西：時間才是一切87F 01/12 07:38
噓 magicbook123: 第三個證明是錯的好嗎  別亂教88F 01/12 07:38

結果是對的啊 (部分物理學家在意的點
推 aiguo: 幫高調，我瞥一下就看得懂89F 01/12 07:39
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:43:14
推 GaussQQ: 就zeta函數解析延拓的值，也沒啥好戰
數學上不會寫你那個form,而是寫zeta(-1)90F 01/12 07:41
→ StuLeo: 嗯嗯，對啊對啊  我也是這麼節的92F 01/12 07:44
推 silencemars: 看完就醒了93F 01/12 07:45
推 wan620623: 優質文推94F 01/12 07:45
推 GaussQQ: 錯誤起頭 得到正確結論 湊一湊就好95F 01/12 07:45
推 sun770618: 文組一臉懵逼的推文96F 01/12 07:46
推 pk2020200: 推97F 01/12 07:47
※ 編輯: zax8419 (140.112.243.228), 01/12/2017 07:49:45
推 whyhsu: 有趣推98F 01/12 07:49
推 digodi: 大概意思到了~99F 01/12 07:52
噓 xz35s8pq: 所有有理數個數 < 所有無理數個數  哪個地方教的?
另外妳真的認為無限+1大於無限?404F 01/13 12:50
推 PeikangShin: ...樓上，你是認真的嗎? 你要不要看一下大一數學導論提到的可數集，不可數集，和勢XD406F 01/13 14:44
推 s9994540: 文組的直接END我看不懂408F 01/13 15:24

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