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作者
標題 Re: [問卦] 1+2+3+4+.......= -1/12 ?
時間 Sat Jan 14 02:50:22 2017
作者
標題 Re: [問卦] 1+2+3+4+.......= -1/12 ?
時間 Sat Jan 14 02:50:22 2017
※ 引述《devidevi (蜜蜜)》之銘言：
: ※ 引述《zax8419 (不要查我哎批嘛Q)》之銘言：
: : %如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數
: : 一個至今還在爭論の數學(?)問題
: : (3)1+2+3+4+.......= -1/12 ?
: 1.誰可以告訴我，為什麼正數無限相加會等於負的???
: 2.如果這點是謬論，可以代表這個人所說都都是謬論嗎??
我們可以先考慮1 e^(-x) + 2 e^(-2x) + ...
這個級數無論正數x多小都會收斂，所以可以求和
其結果是 e^(-x)/(1-e^(-x))^2 = 1/x^2 - 1/12 + x^2/240 + ...
~~~~~~
然後再令x→0，得到1 + 2 + ... = ∞ + (-1/12)當然這個結論大有問題
畢竟今天我們是用一個特定的變形（e^(-nx)）來求和
藉以分離無限（隨著x發散的部分）跟有限（-1/12）
題目本身並沒有告訴我們要先乘上這個exp再令x→0呀
萬一我們用了其他變形，比如說e^(-nx^2)或(n/L)^(-x)
那我們怎麽保證答案還會一樣？
事實上這就是物理學家所謂的regularization的關鍵
可以證明在這個例子（以及其他的：量子場、弦論等）
只要這個變形滿足某些性質
例如說1. x代0要回到原本的和 2. 收斂速度夠快 等等
用哪個函數都會給出-1/12這項
所以才會有人說是∞ + (-1/12)
許多人或許聽過夸克、微中子、希格斯粒子
我們對這些粒子物理的理解是建構在量子場論上的
卻很少人知道量子場論差點被整套打掉重來
就因爲不管你做什麼計算都會碰到無限大
電荷？無限大.質量？無限大.機率？無限大.
東補西補物理學家得到一個結論：
只要這個無限大是∞ + a 這種形式
那就有希望把∞的部分藏到理論定義裡面
使得我們可以得到有限的a這個結果
而這當然得要a的值不取決於我們怎麽藏∞
一個有名的例子是Casimir effect, 真空極化能量
主要是人們在計算時剛好碰到了1 + 2 + 3 + ...
想當然耳就想盡辦法把∞藏起來用-1/12當答案了
而這個效應卻是真實可測量的
主要是人們在計算時剛好碰到了1 + 2 + 3 + ...
想當然耳就想盡辦法把∞藏起來用-1/12當答案了
而這個效應卻是真實可測量的
也因此不能再說-1/12只是數學把戲而已
弦論之所以會常被跟1 + 2 + ... 連在一起
是因爲某種弦的振動可以對應到1單位, 2單位, ... 的能量
總能量就用-1/12做計算，其他的藏起來了
科普比較少提到的是就因爲這個-1/12
這個版本的弦論必須在12 * 2 + 2 = 26 維時空才能存在
打得太長大概很多人會直接END
稍微有些微積分底子的板友
可以試試用不同的變形得到-1/12
對數學物理不感興趣的板友
只要知道當初物理學家也是不得已才研究這個的
不是想隨便唬爛人
延伸閱讀：
Quantum Field Theory and the Standard Model, Ch. 15
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Re: [問卦] 1+2+3+4+.......= -1/12 ?
01-14 02:50
推 : 嗯嗯 跟我想的一樣 我正要準備打一篇1F 01/14 02:51
→ : 剛考完試，讓人放鬆一下可以嗎2F 01/14 02:51
推 : rrrrrr先推可是真的看不懂3F 01/14 02:52
推 : 看不懂啦4F 01/14 02:52
推 : 感謝分享5F 01/14 02:52
推 : 推解釋 但這個workaround真的很醜 外行人看來啦6F 01/14 02:54
推 : 恩恩 我昨天的申論題也寫這樣7F 01/14 03:01
推 : 你弦論系??8F 01/14 03:02
推 : 推認真9F 01/14 03:02
推 : 跟我理解的差不多10F 01/14 03:04
推 : 優質文大大推11F 01/14 03:05
推 : 我也是這麼認為，只是如果原po可以說人話就更完美了12F 01/14 03:09
推 : 深夜U文13F 01/14 03:10
推 : 先推 免得別人以為我看不懂14F 01/14 03:11
推 : 早就知道了哼15F 01/14 03:13
推 : 感謝分享16F 01/14 03:15
推 : Casimir effect與真空極化關聯不大吧！17F 01/14 03:17
推 : 感謝這些數學工具才有今天的物理18F 01/14 03:25
推 : = =????我覺得我應該是智障19F 01/14 03:28
推 : 還好看懂87%20F 01/14 03:31
推 : 不推不行，不過批踢踢鄉民應該也不在乎21F 01/14 03:42
→ : 看了第一行頭就好痛22F 01/14 03:46
推 : 原來如此 漲姿勢了23F 01/14 03:48
推 : 你害我想到我20年前寫的論文了24F 01/14 04:04
推 : 看的懂的人才有資格推25F 01/14 04:05
推 : 怎把我上次跟你說的事情講出來了呢26F 01/14 04:08
→ : 黑人問號????27F 01/14 04:16
![[圖]](http://i.imgur.com/gNZZztd.jpg)
推 : 只看到希格斯粒子,以為是E29F 01/14 04:38
推 : 推30F 01/14 04:40
推 : 英雄所見略同31F 01/14 04:43
推 : 優質文32F 01/14 04:45
推 : 喔喔喔33F 01/14 04:46
推 : 這陣子討論數學的好多 終於有一篇有水準的了34F 01/14 04:51
推 : 專業推35F 01/14 04:59
推 : 快推 不然人家以為我看不懂36F 01/14 05:36
推 : 推專業，看無37F 01/14 06:13
推 : 無聊 Sheldon都改研究黑洞了38F 01/14 06:15
推 : 專業推39F 01/14 06:22
推 : 每個字都看得懂40F 01/14 06:37
推 : 每個字都看的懂+141F 01/14 07:04
推 : 跪42F 01/14 07:31
推 : 老師你失眠了嗎？43F 01/14 07:43
推 : 原來如此 一直想知道自然科學應用的例子 長知識44F 01/14 08:04
推 : 跟我想的差不多45F 01/14 08:28
→ : 懶人包謝謝46F 01/14 08:31
噓 : 1+2+3+....這個可以獨立存在，還是需要有前提???
需要有前提的情況下，就不能單純寫1+2+3+...=-1/12
這是邏輯問題，不是數學問題47F 01/14 08:46
需要有前提的情況下，就不能單純寫1+2+3+...=-1/12
這是邏輯問題，不是數學問題47F 01/14 08:46
→ : 我沒說1+2+...=-1/12呀？50F 01/14 09:08
推 : 驚人的是如果有可以實際應用。51F 01/14 09:21
→ : 什麼狀況會不得已研究這個問題...52F 01/14 09:23
推 : 優文53F 01/14 09:59
推 : 看不懂QQ54F 01/14 10:17
推 :55F 01/14 10:30
噓 : 還好我看得懂
噓錯 等等補推56F 01/14 11:44
噓錯 等等補推56F 01/14 11:44
推 : 還好我看得懂中文58F 01/14 11:53
推 : 推 不過看不懂QQ59F 01/14 12:12
推 : 推推60F 01/14 12:36
推 : 原來如此 從物理的觀點來看就和數學的觀點不同了
不過機率無限大的部分不太能懂 是指無限大處的機率？61F 01/14 12:38
不過機率無限大的部分不太能懂 是指無限大處的機率？61F 01/14 12:38
推 : 那本書似乎是112QFT的課本63F 01/14 13:00
推 : 優質好文64F 01/14 13:40
推 : 好多黑人問號65F 01/14 14:32
→ : 這樣還是錯吧，物理這樣蠻牽強的?66F 01/14 15:02
→ : 機率發散在場論計算很常見 請參見renormalization67F 01/14 15:27
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(firce7772004.): Re: [問卦] 1+2+3+4+.......= -1/12 ? - terievv板