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作者 yueayase (scrya)
標題 Re: [Holo] 線性代數是INA學生時期的夢魘
時間 Sun Mar 10 23:14:26 2024

※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之銘言：
: 線性代數造成了Ina的PTSD
: Link: https://youtu.be/p5ud5ZmjSA8
: 線性代數對INA的學生時代造成嚴重的精神創傷
: https://i.imgur.com/eoSfEGc.jpg
: 前幾堂課的時候，還會覺得「喔喔 我可以學到很多東西喔」
: https://i.imgur.com/O1nJf8f.jpg
: 期中考之後，覺得期末可以學會解方程式就好了
: https://i.imgur.com/HzySunM.jpg
: 期末的時候...嗯 INA已經不記得當時後的成績了
: https://i.imgur.com/MaVLdXy.jpg
: 只記得成績單上的等第很難看
: https://i.imgur.com/l6u9bxa.jpg
: 印象中線性代數在數學學科裡面算是普遍被認為比較簡單的課程呀
: @kiwi2624
: https://twitter.com/kiwi2624/status/1764646200228376838
: https://pbs.twimg.com/media/GH1ILBGa4AAQNwn.jpg
: 怎麼會讓INA的san值掉光呢？
: @takomonty
: https://twitter.com/takomonty/status/1760831987965731255
: https://pbs.twimg.com/media/GHy34iRacAADzAI.jpg

https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1710075511.A.DF7.html
Re: [Holo] 線性代數是INA學生時期的夢魘 - 看板 C_Chat - 批踢踢實業坊
[圖]
作者: arrenwu (最是清楚哇她咩) 線性代數不行沒關係，Ina的微積分值得自傲 Link:  有人在直播裡面問INA 「Ina 我過得了明天的微積分考試嗎？」  

既然同時提到微積分和線性代數，我也來分享一下學習心得吧

首先，微積分裡的內容，我個人覺得比較注重數學的運算技巧
然後積分的部分，需要記熟一些常見的積分技巧和結果

這樣在台大or交大的微積分大會考，才比較能夠穩定+快速想到方向和解法

但線性代數，我個人覺得它用的解題方式，比微積分還要少很多
但是很注重每一個主題的概念和它想法的insight是什麼
如果是用理工科用的線性代數，很多教授其實還是大多都在講跟矩陣運算相關的部分
(當然大多那個選取的field都會有R和C上的)

但如果你是用像是Friedberg的Linear Algebra，那會比較需要抽象思考和做證明的方法
以及概念，才能應付裡面的內容

如果你用的textbook比較注重矩陣的運算和線性代數的應用上(像是大多數非數學系用的)
那個雖然偶爾在碰到vector space、orthogonality、inner product space裡面的內容
會覺得比較抽象，不太好了解以外
其他部分其實可以用偏高中數學的方式去學習
而理工科的教授考試，即使考證明題，也比較像是推導公式這種像是計算的延伸
其實不會過於抽象和難以應付 我個人覺得其實還好

但如果是Friedberg那種的，我覺得你要很有能讀數學系的素養和能力
才會看得懂他在做什麼 不然你從高中上來 看他的證明 會發現有不少沒學過的東西
更不用說它是直接用(抽象的)vector space + linear transformation的觀點
去建構線性代數的結果

我個人認為要能通像是Friedberg，甚至是Hoffman的線性代數 最好有一點
Abstract Algebra(代數學)的知識和基礎會比較好


至於微積分呢...
我認為大多數理工科都是在考運算技巧就是了... 其實這我也同意剛學時
應付考試最好的方法就是刷題
(不過前提就是，你要大約對微積分的極限是什麼有點粗淺的感覺，這樣才不會看到
一堆推導和解題技巧，不知道怎麼把這兩個接起來)

而我覺得初微的多變數微積分寫的觀念不甚清楚
但這不能怪這些寫初微教科書的作者...

因為很多概念，我認為沒有學過高微的知識
不太容易了解為什麼會有那些現象和結果就是了...

而要針對代數學和高微做補足的理工科學生(非數學系)

我推薦:
1. A First Course in Abstract Algebra
(https://www.amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907)

2. contemporary abstract algebra
(https://www.amazon.com/Contemporary-Abstract-Algebra-Joseph-Gallian/
 dp/1133599702)

3. An Introduction to Analysis
(https://www.amazon.com/Introduction-Analysis-4th-William-Wade/dp/0132296381)


1、2是代數學的，3是高微的


總之，個人認為
線代難的點是觀念沒學過，微積分難的點是那些運算技巧不熟

以前我也看過有人線代和代數學很厲害都98分
但微積分和高微只有60左右的數學系學生

所以哪個比較難? 我覺得看個人長處

我自己看高微大約會覺得比較難 因為很多混合First-Order Logic的epsilon-delta敘述
和不等式夾雜的東西，以前沒處理過不熟

又混了一個新的Topology和那些的證明和結果不熟
我目前還找不到有哪本高微教科書
可以讀起來和我提到的1、2那些淺顯易懂 + 用高中數學的概念就可以處理的

而Wade那本我覺得是相對容易讀懂的高微課本了
(其實最近也有考慮陶哲軒寫的分析，但因為沒細讀，我不敢說好不好懂...)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.227.31.196 (臺灣)
※ 作者: yueayase 2024-03-10 23:14:26
※ 文章代碼(AID): #1bxSvLXE (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1710083669.A.84E.html
推 victoryman: 純推 看不懂1F 03/10 23:36
我只能說高中數學和大學數學最大的差別就是:

你能不能從一個作者想要講的一個big picture和他的思考邏輯和哲學出發?
然後了解他推導的方式和理由是什麼?
以及他現在講的東西他的idea和哲學是什麼?

如果沒有用這種方式學，大學數學很容易學不起來...
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/10/2024 23:47:18
推 GaoLinHua: :o2F 03/10 23:46
推 King5566: :03F 03/10 23:50
推 Vulpix: 微積分課名是「算術」，稍微古老一點的年代稱作普數。4F 03/11 00:08
原來如此 難怪我覺得微積分(非數學系)的教學和考題
跟高中數甲/數A調調很像
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:09:34
推 Rain0224: 抽象的線代原文書推Linear algebra done right5F 03/11 00:13
推 Vulpix: 代導那次，凱哥就開你第一本當課本。結果他幾乎沒用過。6F 03/11 00:14
我猜他可能其實在上這本:
https://www.amazon.com/-/zh_TW/David-S-Dummit/dp/0471433349
這本我當初大學翻過去的印象是，我沒辦法讀得很順暢XDDDD
我自己文章那2本，至少前面都還可以很順~~

→ Rain0224: 書中概念的連結非常緊密，而且證明是我個人認為數學系用書中見過最漂亮的7F 03/11 00:14
→ Vulpix: 高微自修我還是會推某本CP值爆炸高的。
不過，懂的都懂XD9F 03/11 00:15
我只知道有一次我拿Rudin的 Principles of Mathematical Analysis
看到Chapter 1的Appendix在弄 Dedekind Cut 因為我已經自己讀過一點代數學了
我馬上就看出他在弄Coset、Quotient Group那種類型的東西
如果我沒讀代數學 大約不清楚他為什麼要用集合來表示實數


我個人是覺得Rudin/Apostol的數學分析弄的證明 沒有一些觀念和background
不知道他到底為什麼要做那些...
不過台灣前面的數學系都會用...
→ Rain0224: 最新版在作者的網頁裡還有免費電子檔11F 03/11 00:16
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:19:56
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:21:36
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:24:14
→ Vulpix: 高微等級才是分析導論，不過數學系一定會在微積分先跑。物理系尬廣跟上。其實工數階段的計算就常常要引用很多定理來說服人那坨計算過程有效。就說xy'=2y吧，把所有定義在實數系上的一階可微解都找出來，這個問題87%會寫錯。12F 03/11 00:23
這個我就不知道了...
但我知道即使你用工數會用的分離係數法找出來的過程也許有問題
但是在初始值問題有Existence and Uniqueness Theorem
你找出來 代進去是對了 那就會是那個了XD
推 xji6xu4yjo41: 正交的部分我都忘記了 嘻嘻16F 03/11 00:23
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:26:55
→ Vulpix: Rudin那本我也是因為大一時有去微擾星爆一下大腦，加上微甲老師第一天就開始形而上……才能啃得比較舒服。有同伴一起啃會養出革命情感。
高微很難寫得淺出吧。那個是要重建思維模式的洗腦課程。17F 03/11 00:26
我個人覺得比代數還難 我想可能是因為:
1. 卡在拓樸學是新的概念 + 需要建構很多證明
2. 大多數學生的證明能力不夠成熟
3. 對epsilon-delta敘述的了解

3可能是最嚴重的 因為需要對First-Order Logic的語言和證明的使用很熟
而且它和原先直觀的極限的關聯 一開始很可能看不出有什麼關係
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 00:33:12
推 Vulpix: 拿分離變數來說的話，問題出在complete basis上。如果沒有小心翼翼去算，可能會有多餘的函數混進basis或漏掉的，甚至加一加還發散，以至於雖然定理E保證有解、定理U保證頂多一個解，結果還是沒找到解。
或者繼續用我前一個例子，追加條件y(-1)=1,y(1)=2，這樣可以保證唯一解，然後一定一堆人卡住……21F 03/11 00:38
這個我想卡住的點應該是像這樣:
xy' = 2y => y'/y = 2/x => ln |y| = 2ln |x| + ln C => |y| = C |x|^2  = Cx^2
然後代y(-1) = 1進去 => 1 = C => y = x^2
然後就y(1) = 1 不是2  => ??? 怎麼沒有解

實際上問題在於那個C，在x為正和為負是不同一個，所以應該要

ln |y| = 2 ln |x| + ln C1 => |y| = C1 x^2
y(-1) = 1 => C1 = 1 =>  |y| = x^2 => y = x^2 (這樣才符合這個初始條件)

ln |y| = 2 ln |x| + ln C2 => |y| = C2 x^2
y(1) =2 => C2 = 2 => |y| = 2x^2 => y = 2x^2 (這樣才符合這個初始條件)

所以這個解應該是個分段函數:

y =  x^2, x≦0
    2x^2, x≧0

→ Vulpix: ε-δ就沒辦法，那個已經比硬幹拓樸簡單了。我覺得重點是
要讓人理解其他搭配都無法正確描繪「極限」。像是「有一個ε對任何δ都……」之類的。27F 03/11 00:55
※ 編輯: yueayase (61.227.31.196 臺灣), 03/11/2024 01:25:09
推 Vulpix: 是的，x=0是奇點，造成這個分段，但一般人或課本都沒有小心處理這個問題，所以會解錯。
當然我也喜歡更smooth的函數，可是這題就只到"y'處處存在"30F 03/11 02:11
推 tuxoko: 推Friedberg的線代 線代就是要抽象化才容易發現可以應用在各種東西上而不是只執著在矩陣上面33F 03/11 03:46

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