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※ 引述《sin55688.》之銘言:
: 有學過一點機率的都知道：
:   不會發生的事件，其發生的機率是零
:   但機率是零的事件，不代表不會發生
: 我有個文組的學妹一直不能接受這個事實
: 我該舉什麼樣的例子她才能接受?
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: 中文不好，只好補上WIKI了
: 表示機率
: 一個事件的機率值通常以一個介於0到1的實數來表示。
: 一個不可能事件其機率值為0，而確定事件其機率值則為1。
: 但反推並不成立，
: 也就是說機率值為0的事件不表示它就是一個不可能事件，
: 同理，機率值為1的事件不表示它就一定發生。
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: 暑假壓力大 發發廢文紓解壓力非引戰
: 請把文組兩字省略
: 標題改成: 如何解釋:機率零不代表不會發生?

　
其實它的標題沒錯
的確機率零不代表事件不會發生
但下方噓文的解釋都不太對
與「趨近 0 跟 0 不同」無關
也與文組理組無關
身為數學系畢業生的小弟我剛好學過一點點機率
因此由小弟我來做個詮釋
　
整個問題的重點在於樣本空間的「性質不同」
樣本空間分兩種
一種是連續的，另一種是離散的
高中所學的擲公正硬幣正反面
事件只有 2 個 (正與反)
樣本空間為「離散的」
　
「離散樣本空間的機率是『 p.m.f. 的函數值』」
p.m.f. 就是機率質量函數 (probability mass function) 的縮寫
簡單來說就是一個描述機率分布的函數
如下圖一


擲出硬幣為正(反)面機率 = 「p.m.f. 在 x = 正(反)面的函數值」= 0.5
總和機率為 1
這很重要
不管怎麼機率怎麼算
必定要滿足機率的 Total One 公設
「樣本空間的總和機率恆為 1」
　
而標題所說的「機率零不代表不會發生？ 」
其實是發生在樣本空間是連續的情況
我來舉個例
請看下圖二：


在一條數線 0 到 5 上隨便用一隻紅筆點一點
點到 1 的機率是？
沒錯！答案是 0
對！就是 0，不是趨近 0
　
「事實上紅筆點到任何一點的機率都是零」
　
覺得很扯？
我們換個方式思考一下
假設紅筆點到任何一點的機率是 0.01
我只要任取 101 個點
機率的總和就 > 1 了
違反 Total One 公設
　
假設紅筆點到任何一點的機率是 0.001
我只要任取 1001 個點
機率的總和就 > 1 了
還是違反 Total One 公設
　
一直推下去
不管紅筆點到任何一點的機率是多少，多趨近於零，只要是正的
我總是可以任取多一點數目個點
使得機率的總和 > 1
一定違反 Total One 公設
　
因此紅筆點到任一點的機率都是 0
　
事實上「連續樣本空間的機率要用 p.d.f. 來描述」
p.d.f. 是機率密度函數 (probability density function) 的縮寫
但每個事件發生的機率不是 p.d.f. 的函數值
而是 p.d.f. 與 x 軸所夾的「曲線面積」(積分)
　
下圖三為剛剛例題的 p.d.f.
 

x = 0 到 x = 5 上任一點的 p.d.f. 函數值是 0.2
但這不代表紅筆點到任一點的機率就是 0.2
再說一次
「連續樣本空間的機率描述是 p.d.f. 與 x 軸所夾面積」
因為任一點的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積是 0
因此機率為 0
　
如果問說「紅筆點在數線上 1 到 2 之間的機率是？」
那就是 x >= 1 且 x <= 2 之間的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積 = 0.2 * 1 = 0.2
因此機率就是 0.2
　
注意：由圖三可知整個樣本空間為：
 x >= 0 且 x <= 5 之間的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積 = 0.2 * 5 = 1
因此滿足 Total One 公設
沒有問題
　
這就是為什麼「不會發生的事件機率是 0，但機率是 0 的事件不代表不會發生」的原因了
　
總結：
1. 離散樣本空間的機率描述為 p.m.f. 的函數值，單點(事件)所發生的機率 >= 0，所有事件的機率總和就是把所有事件的 p.m.f. 的函數值加總，必恆為 1。

好了，我要來想想畢業後要幹麻了

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※ 作者: zz687 時間: 2016-07-16 18:38:57