看板 Gossiping
作者 標題 Re: [問卦] 要如何跟文組解釋:機率零不代表不會發生?
時間 2016-07-16 Sat. 18:38:57
※ 引述《sin55688.》之銘言:
: 有學過一點機率的都知道：
: 不會發生的事件，其發生的機率是零
: 但機率是零的事件，不代表不會發生
: 我有個文組的學妹一直不能接受這個事實
: 我該舉什麼樣的例子她才能接受?
: ------------
: 中文不好，只好補上WIKI了
: 表示機率
: 一個事件的機率值通常以一個介於0到1的實數來表示。
: 一個不可能事件其機率值為0，而確定事件其機率值則為1。
: 但反推並不成立，
: 也就是說機率值為0的事件不表示它就是一個不可能事件，
: 同理，機率值為1的事件不表示它就一定發生。
: ------------
: 暑假壓力大 發發廢文紓解壓力非引戰
: 請把文組兩字省略
: 標題改成: 如何解釋:機率零不代表不會發生?
其實它的標題沒錯
的確機率零不代表事件不會發生
但下方噓文的解釋都不太對
與「趨近 0 跟 0 不同」無關
也與文組理組無關
身為數學系畢業生的小弟我剛好學過一點點機率
因此由小弟我來做個詮釋
整個問題的重點在於樣本空間的「性質不同」
樣本空間分兩種
一種是連續的，另一種是離散的
高中所學的擲公正硬幣正反面
事件只有 2 個 (正與反)
樣本空間為「離散的」
「離散樣本空間的機率是『 p.m.f. 的函數值』」
p.m.f. 就是機率質量函數 (probability mass function) 的縮寫
簡單來說就是一個描述機率分布的函數
如下圖一
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/3eV4yla.jpg)
擲出硬幣為正(反)面機率 = 「p.m.f. 在 x = 正(反)面的函數值」= 0.5
總和機率為 1
這很重要
不管怎麼機率怎麼算
必定要滿足機率的 Total One 公設
「樣本空間的總和機率恆為 1」
而標題所說的「機率零不代表不會發生？ 」
其實是發生在樣本空間是連續的情況
我來舉個例
請看下圖二：
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/TJ3DnE5.jpg)
在一條數線 0 到 5 上隨便用一隻紅筆點一點
點到 1 的機率是？
沒錯！答案是 0
對！就是 0，不是趨近 0
「事實上紅筆點到任何一點的機率都是零」
覺得很扯？
我們換個方式思考一下
假設紅筆點到任何一點的機率是 0.01
我只要任取 101 個點
機率的總和就 > 1 了
違反 Total One 公設
假設紅筆點到任何一點的機率是 0.001
我只要任取 1001 個點
機率的總和就 > 1 了
還是違反 Total One 公設
一直推下去
不管紅筆點到任何一點的機率是多少，多趨近於零，只要是正的
我總是可以任取多一點數目個點
使得機率的總和 > 1
一定違反 Total One 公設
因此紅筆點到任一點的機率都是 0
事實上「連續樣本空間的機率要用 p.d.f. 來描述」
p.d.f. 是機率密度函數 (probability density function) 的縮寫
但每個事件發生的機率不是 p.d.f. 的函數值
而是 p.d.f. 與 x 軸所夾的「曲線面積」(積分)
下圖三為剛剛例題的 p.d.f.
![[圖]](https://i4.disp.cc/imgur/2l9HPQ3.jpg)
x = 0 到 x = 5 上任一點的 p.d.f. 函數值是 0.2
但這不代表紅筆點到任一點的機率就是 0.2
再說一次
「連續樣本空間的機率描述是 p.d.f. 與 x 軸所夾面積」
因為任一點的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積是 0
因此機率為 0
如果問說「紅筆點在數線上 1 到 2 之間的機率是？」
那就是 x >= 1 且 x <= 2 之間的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積 = 0.2 * 1 = 0.2
因此機率就是 0.2
注意：由圖三可知整個樣本空間為：
x >= 0 且 x <= 5 之間的 p.d.f. 與 x 軸所夾面積 = 0.2 * 5 = 1
因此滿足 Total One 公設
沒有問題
這就是為什麼「不會發生的事件機率是 0，但機率是 0 的事件不代表不會發生」的原因了
總結：
1. 離散樣本空間的機率描述為 p.m.f. 的函數值，單點(事件)所發生的機率 >= 0，所有事件的機率總和就是把所有事件的 p.m.f. 的函數值加總，必恆為 1。
2. 連續樣本空間的機率描述為 p.d.f. 與 x 軸所夾之面積，單點(事件)所發生機率為零，所有事件的機率總和就是把整個 p.d.f. 的對 x 軸作積分，必恆為 1。
好了，我要來想想畢業後要幹麻了
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※ 作者: zz687 時間: 2016-07-16 18:38:57
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2樓 時間: 2016-07-16 19:02:07 (台灣)
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07-16 19:02 TW
畢業後就是要輪班阿! 不然要幹嗎?
數學系畢業也能當GG輪班星人嗎 還是去賣雞排比較穩？
3樓 時間: 2016-07-16 19:13:40 (台灣)
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07-16 19:13 TW
以前開補習班 現在去寫APP"賭博"軟體
補習班不是賺爽爽？怎麼跑去賣肝 德州撲克攻城屍 4 你？
8樓 時間: 2016-07-16 21:46:48 (台灣)
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07-16 21:46 TW
「老闆,一份雞排要辣不要切」 「抱歉,賣完了唷」 「所以買不到了嗎?」 「可以買的到,只是機率為0,為什麼機率為0呢?我們先在X軸上點任何一.....」 取名數學雞排說不定會是個賣點...
11樓 時間: 2016-07-18 10:22:26 (台灣)
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07-18 10:22 TW
不過這只存在於「數學」中因為數學中的一個點，就只是一個點，是沒有面積的，可是真實世界中拿筆點一個點，是有面積的。
13樓 時間: 2016-07-19 20:45:17 (台灣)
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07-19 20:45 TW
所以不可能存在的事件機率是零 但是機率零的情況還有包含樣本空間是連續的這種狀況 因此機率零無法說是沒事件發生 ＱＱ好難懂
15樓 時間: 2016-07-20 00:54:13 (台灣)
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07-20 00:54 TW
假設你要在0~5設定100間距，但這實際上發生了101點，故每點機率為1/101，而非0.01
19樓 時間: 2016-07-20 15:15:39 (台灣)
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+1
07-20 15:15 TW
不如我們來從哲學的角度談論這個零出身數學家的懷德海曾說「所有西方哲學只是柏拉圖的註腳」。而作為柏拉圖哲學核心的「理型世界」最關鍵的例子來自於數學。我們從來不曾在世界上見到一，我們所看到的只是特殊的一隻鳥、一朵花。因此不管「數」到底是源自我們對理型世界的回憶，還是心靈對世界的抽象，弔詭的是我們對數的感覺與知識似乎比日常經驗來得確定而真實。這同時解釋了柏拉圖哲學的魅力，與數學在知識領域中的特殊地位。但是作為一個現代人，從小到大的數學經驗，一方面已經將這些數字符號視為理所當然運用自如的存在，另外一方面也將這些符號打成一個失去歷史縱深的平面。最明顯的例子，就是很少人會去問如果「一」是一隻小鳥、一朵花的抽象概念。那「零」又是什麼東西的抽象概念呢？如果所有的「名」皆有所指，那「零」所指稱的對象是什麼呢？如果說它是「一無所有」的抽象化，但是明明沒有東西又如何被抽象出來呢？因此將「零」視為一個數，與將「一」視為一個數是完全不同的兩回事，這表示柏拉圖的理型世界還有抽象層級的差別，「零」是抽象的抽象。當然就與其他思想史上重要的觀念一樣，這不表示「零」是印度數學家一夜之間的創造物。事實上，零作為一個記數的位置記號、作為一個日常運算的數、作為座標的中心、作為數學代數系統中的一個特殊元素、乃至當作「空無」的哲學思辯概念，是一組同中有異、異中有同的家族觀念。也因此追蹤「零」的譜系與演變，成了一件在智性上既迷人又興奮的挑戰。
21樓 時間: 2016-07-21 10:01:24 (澳門)
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07-21 10:01 MO
個人認為只係因為積分這玩意的解釋根本不完善，才會出現P=0,但會發生。 人們對於"無限"、0→1的定義根本不完善，何謂點、線、面、空間。 離散型方面沒甚麼好說，P=0時，即不可能發生，也是一般人的認知。但離散型並不能用在連續的東西上。連續型時便奇怪了，如例子用點隨機在線上點，點到1會不會發生，大家一想便知"會"，但機率是多少呢？對不起，點並沒有長度，積分結果只會是0，即連續型的概率是0，如果是0.5mm的筆，答案便不同了。
29樓 時間: 2017-11-04 15:02:42 (台灣)
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11-04 15:02 TW
不懂，{不管紅筆點到任何一點的機率是多少，多趨近於零，只要是正的}就表示有機率阿，但機率0，例: 在90~100內點到1的機率 不就是機率0嗎?
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