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※ 引述《surimodo (好吃棉花糖)》之銘言：
: 就是EVA出現的其中之一使徒
: 能使用一招虛數之海
: 把人傳送到另一個空間?
: 不過為啥真嗣從底下被吃掉
: 卻從陰影(球體)出來
: 不懂
: 我以為應該從哪進去從哪出來
: 有沒有希洽數學家能解釋一下...?

先說，我不是數學家，只是工作需要看很多科普書。

歡迎數學系各大高手指教。


讓我們先從歐幾里得幾何學說起吧。

歐幾里得幾何有以下五個不證自明的公理。（抄自維基）
1. 從一點向另一點可以引一條直線。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都相等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直
   線在這一邊必定相交。

前四個公理簡單易懂，但第五公理卻顯得相當冗長。

簡單說一下，第五公理指的是，
　　設一條直線L分別與直線A、直線B相交，如圖 https://imgur.com/yT6CVWG.jpg
　　而L與A、B在其中一側（譬如說右側）的內角和（圖中標出紅色的角）小於180度
　　則A、B必在這一側（右側）相交

第五公理等價於「通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。」
又稱做平行公理。

聽起來很廢話對吧。
事實上，一千多年來，也真的有許多數學家認為平行公理是廢話，
而想要用前四項公理證明平行公理。


聰明的你應該在小學就知道「三角形內角和是180度」了。
但這僅限於歐幾里得平面。

想像地球表面是一個完美球面。
球面上的直線有個名字叫做「測地線」或「大圓」，指的是球面上，圓心在球心的圓。
（經線是測地線，緯線除了赤道外皆不是測地線）

球面上，由三條測地線形成的三角形，其內角和就大於180度。

舉例來說，由北極點、北緯0度東經0度、北緯0度東經90度這三個點所形成的三角形，
內角皆為直角，故內角和為270度。

球面上的三角形還有個有趣的性質。
那就是，我們不需要知道邊長，只要知道三個角是多少，以及球半徑，
就知道三角形的面積是多少。（或者換個方式說，同一球面上的相似三角形必定全等）

公式為△ABC = R^2 (α+β+γ-π)
其中，α、β、γ為三個內角，π為180度。

推導過程我就省略了，大家可以自行試著推推看。

讓我們把這個公式順序調換一下：

    1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC

可以看出，當R→∞時，左邊為0。

也就是說，當球面半徑趨近無限大時，球面趨近平面，
此時，三內角和α+β+γ=π=180度。
和我們小時候背的公式一樣。


接下來要講的會有點複雜。


我們可以把1 / R^2換成K，得到

    K = (α+β+γ-π) / △ABC

這裡的K相當於「高斯曲率」。

先說明什麼是曲率。
平面上一條曲線在某個點上的曲率，為曲線在這個點上之切圓的半徑的倒數。
正負號由曲線的方向而定。

曲面上的點在各個不同方向上皆有不同曲率，
而高斯曲率指的是曲面上一個點之最大曲率與最小曲率之乘積。

球面一點上的曲率在各個方向皆相同，可能皆為正數、或皆為負數。
故球面高斯曲率必為正數。

平面的高斯曲率為0。

那麼，有沒有高斯曲率為負數的曲面呢？

有的，那就是雙曲面。雙曲面的高斯曲率為負數。
神奇的是，雙曲面符合歐幾里得幾何學的前四項公理，卻不符合平行公理。

雙曲面上，過一直線L外一點，可以作無限多條與直線L不相交的直線。
雙曲面上，三角形的內角和小於180度。

補充：雙曲面上的三角形可參考https://imgur.com/pUKygBp.jpg
　　　圖中線段皆為直線

接著讓我們再回來看這個公式。雙曲面上，

　　1 / R^2 = (α+β+γ-π) / △ABC = K < 0

　　1 / R^2 < 0

因此，雙曲面可以視為半徑為虛數的球面！

當然，這種講法很不嚴謹，甚至可以說是穿鑿附會，
請不要跟數學系的人這麼說，絕對會被他們電爆。


再來談一些雙曲面上有趣的事吧。

球面是一個大小有限，卻沒有邊界的曲面。
平面可以想像成半徑無限大的球面。

那麼，理應無限延伸的雙曲面有沒有辦法映射到平面上呢？

有個東西叫做「龐加萊圓盤」，大概長得像這樣 https://imgur.com/NXbGTGa.jpg
龐加萊圓盤是一個定義在單位圓（座標平面上半徑為1的圓）的空間。

圓盤上的兩點距離，可以用微分式寫成

    ds^2 = [4 / (1 - (x^2 + y^2))^2] (dx^2 + dy^2)
           ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

也就是說，圓盤上離原點越遠((x^2 + y^2)越大)，
那麼座標平面上微小距離(dx^2 + dy^2)所代表的龐加萊圓盤微小距離ds^2就越大。
而單位圓在龐加萊圓盤中所代表的，就是無限遠處。

上圖的龐加萊圓盤中有許多三角形，從圓盤的角度來看，這些三角形的面積皆相同。
但你從座標平面的角度看，越邊緣的三角形就越小，因為邊緣是無限遠處。

這就是當我們把雙曲空間映射到歐幾里得空間時的結果。


到這裡，終於可以回答問題了。

虛數空間是什麼？

雙曲曲面當然不是虛數空間，但至少可以給我一點啟發。
我們可以把雙曲曲面想成是一個鑲嵌在第三軸為虛數之三維空間的球面。
（對，我承認我只是在穿鑿附會，數學系的拜託別來找我）

而當我們把雙曲曲面映射到座標平面上時，可以得到一個如龐加萊圓盤般，
有邊界，面積卻是無限大的單位圓。
（另一個例子是龐加萊半平面模型，有興趣者可自行google看看）

有邊界，卻又無限，代表著什麼？

代表它可以像黑洞般吞噬一切。

就像EVA的狄拉克之海一樣。

至於Fate中，櫻的虛數魔術是什麼，由於我沒看過HF也不好回答。
但我猜它也是一種空間魔術，藉由雙曲空間與歐幾里得空間的映射關係，吞噬一切。

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題外話，Fate雖然有著科學與魔術截然不同的設定，
但我覺得Fate裡的魔術其實有不少科學的成分。
特別是準備要動畫化的二世事件簿。

舉例來說吧，庫丘林的刺穿死棘之槍號稱可以逆轉因果，
先刺中心臟，再完成投擲。

這我會想像成，
假設我們在一張紙、一個平面上，槍哥想從A點射到B點，

槍的軌道並沒有出現在這張紙上，故射穿心臟這件事並沒有實現。


故死棘之槍的下一步就是將這張紙再攤平，使槍的軌跡顯現在紙上，完成投擲。
這就是我想像中的死棘之槍，當然我不曉得蘑菇是不是這樣想啦。

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