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作者 標題 [25夏] 看動畫學數學 從沉默魔女認識質數
時間 Sat Sep 27 03:56:19 2025
為了恪守學術論壇的價值
今天來簡單聊聊關於質數的一些小知識
在沉默魔女12中
莫妮卡被換上清涼的禮服後 為了逃避現實而選擇了默念一串數字
https://imgur.com/CX9JvAP.jpg
![[圖]](https://imgur.disp.cc/4b/CX9JvAP.png)
當然只要稍加敏感的人都會知道這串數字是質數
關於質數的定義很單純
即一個自然數 除自身與1以外沒有其他的因數
而質數於過往所學 大概都是作為質因數分解的唯一性所用
對於任意數字 都能將其分解為以質數相乘的唯一形式
例如: 114514= 2 x 31 x 1847
40010= 2 x 5 x 4001
2025= 3^4x 5^2
可能再提到質數有無限多個這樣
除此之外大致上較少於課內用到 頂多是在一些變化題偶爾會出現
只不過關於質數的研究可是一直一直都有在發展
但研究那麼多.....有什麼實際用途嗎?
摁 在過去很長一段時間 質數的研究常被認為是數學家的自high
不像物理、化學等學科 都能夠有實際"對人有幫助"的研究成果
而這個狀況 直到一個看似毫無相關的"密碼學"終於將其應用
不像物理、化學等學科 都能夠有實際"對人有幫助"的研究成果
而這個狀況 直到一個看似毫無相關的"密碼學"終於將其應用
密碼學很顯然就是研究"密碼"
其中密碼並非單單只是我們輸入帳號密碼這樣而已
無論是作戰暗號、棒球暗號、通訊系統、乃至於交換日記都有密碼的蹤影
不過不講過於深入的內容
只提到密碼學中最主要的概念 即是"密鑰"這個關鍵
在任何的加密方法中 都可以想像成"我有一把鎖及一把對應的鑰匙"
只有這把鑰匙能把鎖給鎖上 也只有這把鑰匙能打開這道鎖
所以我只要把這個訊息透過固定的方法鎖上
除非你有鑰匙並且知道我上鎖的方法 不然就無法知道這個內容是什麼
但隨著科技與學術的發展 "上鎖的方法"已經不是一個秘密
那擁有鑰匙與否就成了重要的關鍵
只不過 如果我想讓別人將重要訊息傳給我 該怎麼做呢?
如果對方直接給了我上了鎖的信 我沒有鑰匙也就無法解開
如果想將鑰匙給我 也會有鑰匙被偷走的風險
這麼一來我就無法打開這封信
這就是過往"對稱式加密"的困境 (當然有解法就是了)
於是乎 在1977年有三個人研發了一種新型的加密方式
即所謂的"RSA加密"
這個加密法 是透過固定的方式 將過往單獨的"鑰匙"分離開來
將"鑰匙"分成專門用來上鎖的"公開密鑰"
與只有自己用來解鎖的"私鑰"
不再是以往同一把鑰匙既能鎖又能開
那麼狀況就變成了 任何人都能透過我直接公布的"公開密鑰"
將訊息上鎖後交給我
就算有無數駭客能取得這段上鎖的訊息 也無法將其破解打開
唯一只有我能透過完全不外流的"私鑰"將其破譯解讀真正的訊息
這就是完全新概念的"非對稱加密"
那.....這個到底又跟質數有什麼關係呢?
當然是至關重要 直接說RSA就是靠質數加密也不為過
在RSA的加密系統中 最重要的就是如何產生"公開密鑰"與"私鑰"
這關鍵的概念只是很單純的 你我都學過的"質因數分解"罷了
質數的性質中有個相當重要的不確定性
我們要如何判斷一個數是否是質數 其實僅能透過各種測試
沒有方法能夠一眼直接辨認
當然只要找到有非1及自身的其他因數 就能知道不是質數
反過來說 要將兩個很大的質數相乘非常容易 (計算機很輕鬆)
但要將一個很大很大的數 分解成兩個很大的質數就非常非常困難
舉個簡單的例子
請問10379是從哪兩個質數相乘而來? 開燈有解 97x107
.....
我想光是這樣的數字就很難在極短的時間做好分解 哪怕手邊有計算機也一樣
反之要將 83x89計算出來為7387就相當容易
而RSA的加密系統 其中的"公開密鑰"與"私鑰"的產生就是透過這個性質
將兩個巨大的質數稍加變化後就可以得到解密用的私鑰
將兩個巨大的質數直接相乘 再補一點計算 就是公開密鑰
至於這個加密強度就取決於質數有多"巨大"
實務上來說的巨大質數可能都是百位以上 甚至千位的數字
具體來說 兩個多達100位的質數 相乘後多達200位的"合數"
想透過電腦將其分解就是個曠日廢時苦勞了.....
具體來說 兩個多達100位的質數 相乘後多達200位的"合數"
想透過電腦將其分解就是個曠日廢時苦勞了.....
不過這個加密系統也是有個風險
萬一未來的數學瘋狂發展 突然找到嶄新且快速的因數分解方法
那RSA加密系統會瞬間崩塌 變成完全無用的加密系統
但至少時至今日 因數分解仍未有這樣的方法能夠處理就是了
所以莫妮卡在數的質數其實是有相當大的作用阿
搞不好莫妮卡就是在研究因數分解呢!!!
又或許莫妮卡也會對梅爾森質數感興趣喔~~~
https://imgur.com/1croRyT.jpg
![[圖]](https://imgur.disp.cc/4b/1croRyT.jpeg)
2^77232917 - 1
整本書內文裡面 除了頁碼以外只有這個數字
整本滿滿滿的數字 兩千多萬個數字
如果是魔女莫妮卡的話 一定會買一本
摁 我真有買一本放家裡......
如果王子送這本書給小松鼠 那一定會很開心的吧!!
--
https://imgur.com/r8P0qbu.jpg
你跟我說這個 我有什麼辦法
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.170.181.47 (臺灣)
※ 作者: zax8419 2025-09-27 03:56:19
※ 文章代碼(AID): #1erk_eq8 (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1758916584.A.D08.html
※ 編輯: zax8419 (1.170.181.47 臺灣), 09/27/2025 04:05:11
然後大二才修密碼學導論 就有趣多了
開根號以後還是有50位
也就是100000000000000000000000000000000000000000000000000這種量級的大
那假設電腦超強 一秒鐘能檢查一兆個數 也就是10^12
那10^50 / 10^12 也要 10^38秒 那大概宇宙毀滅都檢查不完
![[圖]]()
※ 編輯: zax8419 (1.170.181.47 臺灣), 09/27/2025 08:03:46
![[圖]]()
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推 : 笨方法就是暴力嘗試, 將所有平方根以內的質數一個個拿來除...1F 09/27 04:13
這方法其實不笨 只要稍加改良就很快推 : RSA過氣 橢圓曲線比較潮2F 09/27 04:18
我大一下沒想太多直接選了密碼學 一進門就是橢圓曲線....完全聽不懂就退選了然後大二才修密碼學導論 就有趣多了
推 : 長知識推3F 09/27 04:34
推 : 我的想法跟1f一樣 這樣暴力解用電腦也要跑很久嗎？4F 09/27 05:20
很簡單 假設一個100位數的數字開根號以後還是有50位
也就是100000000000000000000000000000000000000000000000000這種量級的大
那假設電腦超強 一秒鐘能檢查一兆個數 也就是10^12
那10^50 / 10^12 也要 10^38秒 那大概宇宙毀滅都檢查不完
推 : 別的漫畫中有個角色也喜歡質數5F 09/27 05:21
※ 編輯: zax8419 (1.170.181.47 臺灣), 09/27/2025 05:30:10推 : 量子電腦暴力解的話不用半小時就解出來了6F 09/27 06:39
→ : 之前在YT看到聊量子電腦的有拿解密碼當例子
→ : 之前在YT看到聊量子電腦的有拿解密碼當例子
![[圖]](https://pbs.twimg.com/media/FupnA7ZaIAAxcL8.jpg)
推 : 質數我是從JoJo學的9F 09/27 07:22
推 : 密碼學在資工系根本是有字天書10F 09/27 07:23
推 : 沒有質數應用 還真的沒有現代密碼學 也沒有這些線上金融交11F 09/27 07:30
→ : 易 因為根本不敢用
→ : 易 因為根本不敢用
推 : 2-3-5-7-11-全家-萊爾富-OK13F 09/27 07:36
推 : 那10^50的大質數是怎麼找到的14F 09/27 07:38
電腦慢慢跑出來的推 : 質數數得好可以創造新世界15F 09/27 07:46
※ 編輯: zax8419 (1.170.181.47 臺灣), 09/27/2025 07:53:06推 : 現在目前已知最大質數是41024320位數16F 09/27 08:01
→ : 2^ 136279841-1
第52個梅爾森質數→ : 2^ 136279841-1
※ 編輯: zax8419 (1.170.181.47 臺灣), 09/27/2025 08:03:46
→ : 普奇神父：18F 09/27 08:06
推 : 身為質數人只能推了19F 09/27 08:07
推 : 我認識一個神父也很愛數質數20F 09/27 08:16
推 : 好猛21F 09/27 08:20
推 : 只不過神父也不知道是不是字幕問題，他質數有算錯==22F 09/27 08:21
推 : 印象中沒有打錯，那是神父自己無法冷靜數錯23F 09/27 08:39
推 : 數質數可以在危機時保持冷靜應對，我有個朋友是這麼說的。24F 09/27 08:56
推 : 離散就有教rsa了25F 09/27 09:05
→ : ん？26F 09/27 09:09
推 : 不是1000-7比較有用嗎27F 09/27 09:14
![[圖]](https://i.imgur.com/xA0LwCzh.jpeg)
推 : 之前的是斐波那契數列30F 09/27 09:29
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