---

※ 引述《Cagesong (有點大隻的呆頭鵝)》之銘言：
: 之前沒玩過大小保的手遊，計算了一下：
: 一、制度說明
: 舊制度：
: 每抽有 0.7% 機率抽到 Pickup。
: 不論前 200 抽有沒有抽到 Pickup，完成 200 抽後，
: 都會另外獲得一張可以兌換一隻 Pickup 的票。

: 新制度：
: 一般抽卡時，Pickup 機率同樣為 0.7%。
: 充能累積到 100 時，該抽的 Pickup 機率提高到 50%。
: 充能累積到 200 時，該抽必定得到 Pickup。
考慮雙 PU 池的情況，目標是要取得兩個PU池中的PU角。

定義隨機變數 N1 和 N2 為在第1池和第2池中的抽數。
WLOG，統一先抽第一池再抽第二池
另外還有個假設是：你石頭一定夠抽到兩PU角出來為止

再定義總抽數為 N = N1 + N2

PU機率 p = 0.007

想知道的情況就是：E[N] = E[N1] + E[N2]

新制度

這個很單純，E[N] = 2*E[N1] (兩卡池沒有關聯)
                 = 90.072 * 2
                 ~= 180.144

舊制度

因為先抽的是第1池，所以 E[N1] 比較單純是 107.80

        ∞
E[N2] = Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
        c=0

這邊用一個比較方便的算法:
        對於任意必然 大於或等於零 的整數隨機變數 A，
                        ∞
        其期望值 E[A] = Σ P(A>a)
                       a=0

  P(N2 > n2|無兌換券, 累計抽數=c)

= P(再抽n2抽仍然沒中且 n2+c <200| 無兌換券, 累計抽數=c)

= (1-p)^n2    ,n2+c <= 199  and n2 >=0


所以
                            n2 = 199-c
E(N2 |無兌換券, 累計抽數=c) = Σ   (1-p)^n2
                              n2=0

                            = [1-(1-p)^(200-c)]/p


另一方面

P(無兌換券, 累計抽數=c) =  (1-p)^(c-1)*p, 1<= c <=199 (第一池在1~199抽抽中)



這樣可以算 E[N2] 了:

        ∞
E[N2] = Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
        c=0

        199
      = Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
        c=0

        199
      = Σ  [1-(1-p)^(200-c)]/p * P(無兌換券, 累計抽數=c)
        c=0

      = [1-(1-p)^(200)]/p*(1-p)^200
         199
       + Σ [1-(1-p)^(200-c)]/p * (1-p)^(c-1)*p
         c=1

      = [1-(1-p)^(200)]/p*(1-p)^200 + [1-(1-p)^(199)]/p - 199(1-p)^199

      ~= 84.83


所以舊制中取得 2PU池中PU角的抽數是
 E[N] = E[N1] + E[N2] ~=  107.80 + 84.83 = 192.63


看起來新制度 (平均 180.144) 在雙PU上也是對玩家比較好的樣子？


從分析的角度來看：
        1. 舊制中，累積抽數確實可以大幅降低第二卡池需要的期望抽數
           使其從  107.8 降至 84.83，平均少了 23 抽。

        2. 但是新制讓單一獨立卡池的抽數期望值從 107.8 大幅降低至 90.7，
           單一卡池平均就少了17抽。兩池總和下來舊制就沒這麼大優點

--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國)
※ 作者: arrenwu 2026-07-26 23:01:21
※ 文章代碼(AID): #1gPY54Yx (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1785078084.A.8BB.html